=for timestamp
Mi Okt  6 17:25:34 CEST 2004

=head3 10. Hausaufgabe

=head4 Buch Seite 22, Aufgabe 2

Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen:

=over

=item b)

M<f\left(x\right) = x^3 - 3x^2 + x = x \cdot \left(x^2 - 3x^2 + 1\right) = x
\left(x - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right) \left(x - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)>

⇒ M<x_1 = 0;> M<x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2};> M<x_3 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2};>

=item c)

M<<
{} \left.\begin{array}{l}
{}   f\left(x\right) = x^4 - 5x^2 + 4; \\
{}   x^2 = u;
{} \end{array}\right\} \Longrightarrow
{} f\left(x\right) = u^2 - 5u + 4; \Longrightarrow u_1 = 1; u_2 = 4; \\
{} \Longrightarrow x_1 = -2;\, x_2 = -1;\, x_3 = 1;\, x_4 = 2;
>>

=back

=head4 Buch Seite 22, Aufgabe 6

Wo liegt der Scheitel der Parabel, wo sind die Funktionswerte negativ?

=over

=item e)

M<f\left(x\right) = \left(x-1\right) \left(x+2\right) = x^2 + x - 2; \\
\Longrightarrow f'\left(x\right) = 2x + 1 = 0; \\
\Longrightarrow x = -\frac{1}{2}; \\
\Longrightarrow y = f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{9}{4}; \\
\Longrightarrow S\left(-\frac{1}{2}; -\frac{9}{4}\right);>

M<\mathds{D}_N = \left] -2; 1 \right[;>

=item f)

M<f\left(x\right) = -x^2 + 2x + 1 = \\
\Longrightarrow f'\left(x\right) = -2x + 2; \\
\Longrightarrow x = 1; \\
\Longrightarrow y = 2; \\
\Longrightarrow S\left(1; 2\right);>

M<x_1 = 1 - \sqrt{2};\, x_2 = 1 + \sqrt{2};>

M<\mathds{D}_N = \mathds{R} \setminus \left[ 1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}
\right];>

=back