=for timestamp
Do Okt  7 16:42:00 CEST 2004

=head3 11. Hausaufgabe

=head4 Blatt, Aufgabe 10

Gegeben ist die Schar der Funktionen

=over

M<f_a: x \mapsto f_a(x) = ax^2 + \left(1 - 2a\right)x; x \in \mathds{R};>

=back

mit dem Parameter M<a \in \mathds{R}> und den zugehörigen Graphen M<G_a>.

=over

=item a)

Zeichne die Graphen M<G_1>, M<G_0> und M<G_{-1}>.

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

f(a, x) = a*x**2 + (1 - 2.*a)*x

set grid
set yrange [ -5 : 5 ]
set xrange [ -5 : 5 ]
plot f(1, x), f(1/2., x), f(0, x), f(-1/2., x), f(-1, x)

=hend

=item b)

Zeige, dass genau zwei Punkte allen Graphen der Schar angehören.

M<<
{} \begin{array}{rcl|l}
{}   f_{a_1}(x) & = & f_{a_2}(x) \\
{}   a_1x^2 + \left(1-2a_1\right)x & = & a_2x^2 + \left(1-2a_2\right)x &
{}                                       :x \Longrightarrow x_1 = 0; \\
{}   a_1x + 1 - 2a_1 & = & a_2x + 1 - 2a_2 & -a_2x -\left(1 - 2a_1\right) \\
{}   x \left(a_1 - a_2\right) & = & 1 - 2a_2 - 1 + 2a_1 & :\left(...\right) \\
{}   x & = & 2 \frac{a_1 - a_2}{a_1 - a_2} \\
{}   x & = & 2
{} \end{array}
>>

⇒ M<< P_1(0; 0); P_2(2; 2); >>

=item c)

Wie muss M<a> gewählt werden, damit M<G_a> durch den Punkt M<P(4; 0)> geht?
Zeichne den zugehörigen Graphen.

M<<
{} \begin{array}{rcl}
{}   y_P & = & f_a(x_P) \\
{}   0   & = & 8a + 4 \\
{}   -\frac{1}{2} & = & a \\
{} \end{array}
>>

=item d)

Bestimme allgemein für M<a \neq 0> die Nullstellen von M<f_a>.

M<f_a(x) = 0; \Longrightarrow ax + 1 - 2a = 0; \Longrightarrow x = \frac{2a - 1}{a};>

⇒ M<N(\frac{2a - 1}{a}; 0);>

=item e)

Für welchen Wert von M<a> berührt M<G_a> die M<x>-Achse?

M<<
{} \left.\begin{array}{l}
{}   x      = \frac{2a-1}{2a}; \\
{}   f_a(x) = ax^2 + \left(1 - 2a\right)x = ax + 1 - 2a = 0;
{} \end{array}\right\} \Longrightarrow \\
{} \begin{array}{rcl|l}
{}   a \frac{2a-1}{2a} + 1 - 2a & = & 0 & \cdot 2 \\
{}   2a - 1 + 2 - 4a & = & 0 \\
{}   -2a + 1         & = & 0 & +2a :2 \\
{}   \frac{1}{2}     & = & a
{} \end{array}
>>

=back