=for timestamp
Do Okt 14 17:44:45 CEST 2004

=head3 15. Hausaufgabe

=head4 Selbstgestellte Aufgabe

Untersuche M<f> auf Symmetrie, Monotonie für M<x \geq 0> und Beschränktheit
(Wertemenge)!

M<f(x) = \frac{4 + \left|x\right|}{2 + \left|x\right|};>

=over

=item Symmetrie

M<f(-x) = \frac{4 + \left|x\right|}{2 + \left|x\right|} = f(x);> ⇒ Symmetrie
zur M<y>-Achse

=item Monotonie

M<<
{} x_1, x_2 \geq 0; x_1 < x_2; \\
{} \Longrightarrow f(x_2) - f(x_1) = \frac{4+x_2}{2+x_2} - \frac{4+x_1}{2+x_1}
{} = \frac{8 + 4x_1 + 2x_2 + x_1x_2 - 8 - 4x_2 - 2x_1 - x_1x_2}{\mathrm{HN}} =
{} \frac{\left(x_1 - x_2\right) \left(4 - 2\right)}{\mathrm{HN}} < 0;
>>

⇒ smf für M<x \geq 0;>

=item Beschränktheit

M<<
{} \begin{array}{rcl|l}
{}   y &=& \frac{4 + \left|x\right|}{2 + \left|x\right|} & \cdot \left(...\right) \\
{}   2y + \left|x\right|y &=& 4 + \left|x\right| & -\left|x\right| -2y \\
{}   \left|x\right| \left(y - 1\right) &=& 4 - 2y & : \left(...\right) \\
{}   \left|x\right| &=& \frac{4 - 2y}{y - 1}
{} \end{array}
>>

M<<
{} \Longrightarrow y \neq 1;
>>

M<<
{} \begin{array}{rcl|l}
{}   \frac{4 - 2y}{y - 1} &\geq& 0 & \cdot \left(...\right) \\
{}   4 - 2y &\geq& 0 & +2x :2 \\
{}   2 &\geq& y
{} \end{array}
>>

M<<
{} \Longrightarrow \begin{cases}
{}   y \geq 1 \text{ und } y \leq 2 & \text{oder} \\
{}   y \leq 1 \text{ und } y \geq 2;
{} \end{cases}
>>

M<<
{} \Longrightarrow \mathds{W} = \left] 1; 2 \right];
>>

=back

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

f(x) = (4. + abs(x)) / (2. + abs(x))

set grid
plot f(x)

=hend