=head3 2. Hausaufgabe

=head4 Zettel, Aufgabe 52

M<< h_t\left(x\right) = -tx + t; t \in \mathds{R}; \mathds{D}_{h_t} =
\mathds{R}; >>

=over

=item a)

Zeige, dass alle Graphen der Schar eine gemeinsame Nullstelle haben.

M<<
{} \begin{array}{rcl}
{}   -tx + t                  & = & 0 \\
{}   t \cdot \left(1-x\right) & = & 0 \\
{}   1 - x                    & = & 0 \\
{}   1                        & = & x
{} \end{array}
>>

⇒ M<< N\left(1; 0\right) >>

=item b)

Bestimme den Inhalt der Dreiecksfläche, die von der M<y>-Achse und zwei
zueinander senkrechten Schargeraden begrenzt ist.

M<<
{} l_t\left(x\right) = \frac{1}{t}x - \frac{1}{t}; \\
{} \begin{array}{rl}
{}   \Longrightarrow A\left(t\right)
{}   = & \frac{1}{2} \cdot \left| h_t\left(0\right) - l_t\left(0\right) \right|
{}       \cdot 1 = \\
{}   = & \frac{1}{2} \cdot \left|t + \frac{1}{t}\right| = \left|\frac{t^2 + 1}{2t}\right|;
{} \end{array}
>>

=item c)

Für welches M<t> schließt die Schargerade mit der M<y>-Achse einen Winkel von
M<30^\circ> ein?

M<<
{} \begin{array}{rcl}
{}   m_{h_t} & = & \tan \frac{\pi}{3} \\
{}   -t      & = & \tan \frac{\pi}{3} \\
{}   t       & = & -\tan \frac{\pi}{3} \\
{}   t       & = & -\sqrt{3}
{} \end{array}
>>

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