=head3 3. Hausaufgabe

=head4 Zettel, Aufgabe 58

M<<
{} f_t\left(x\right) = tx + 2\sqrt{t^2 + 1};
{} \mathds{D}_{f_t} = \mathds{R};
{} t \in \mathds{R};
>>

=over

=item a)

Für welches M<t> ist der Graph parallel zur Winkelhalbierenden des 1.
Quadranten? Zeichne den Graphen!

M<<
{} \begin{array}{rcl}
{}   tx & = & x \\
{}    t & = & 1
{} \end{array}
>>

=item b)

Für welches M<t> ist der Graph senkrecht zu einer Geraden mit der Gleichung M<y
= 2x + 333>?

M<<
{} \begin{array}{rcl}
{}   tx & = & -\frac{1}{2}x \\
{}    t & = & -\frac{1}{2}
{} \end{array}
>>

=item c)

Welche Graphen der Schar schließen mit der M<x>-Achse einen Winkel von
M<60^\circ> ein?

M<<
{} \begin{array}{rcl}
{}   tx & = & \tan \frac{\pi}{3} \cdot x \\
{}    t & = & \sqrt{3} \text{ sowie } -\sqrt{3}
{} \end{array}
>>

⇒ M<< f_{\pm \sqrt{3}}\left(x\right) = \pm\sqrt{3}x + 4; >>

=item d)

Bei welchen M<t>-Werten sind die Nullstellen vom Ursprung M<2\sqrt{2}>
entfernt?

M<< d = \pm 2\sqrt{2} >>

M<<
{} \begin{array}{rcl}
{}   0      & = & td + 2\sqrt{t^2 + 1} \\
{}   -td    & = & 2\sqrt{t^2 + 1} \\
{}   t^2d^2 & = & 4t^2 + 4 \\
{}   t^2\left(d^2 - 4\right) & = & 4 \\
{}   t^2 & = & \frac{4}{d^2 - 4} \\
{}   t   & = & 2 \frac{\sqrt{d^2-4}}{d^2-4} \\
{}   t   & = & \pm 1
{} \end{array}
>>

=item e)

Welche Stellen der M<x>-Achse sind keine Nullstellen von Schargeraden?

Nullstelle: M<< tx + 2\sqrt{t^2 + 1} = 0; \Longrightarrow x\left(t\right) = -2
\frac{\sqrt{t^2+1}}{t}; >>

Auflösen nach M<t>:

M<< t = \frac{4}{\sqrt{x^2 - 4}}; \Longrightarrow \mathds{D}_t = \mathds{W}_x =
\mathds{R} \setminus \left[-2; 2\right]; >>

=item f)

Bestimme die Entfernung M<d>, die die beiden Achsenabschnittpunkte der Geraden
zum Parameterwert M<t = 5> haben.

M<<
{} P\left(-2 \frac{\sqrt{t^2 + 1}}{t}; 0\right); \\
{} Q\left(0; f_t\left(0\right)\right) = Q\left(0; 2\sqrt{t^2+1}\right); \\
{} \begin{array}{rcl}
{}   d & = & \sqrt{ P_x^2 + Q_y^2 } = \\
{}     & = & \sqrt{ 4\frac{t^2 + 1}{t^2} + 4t^2 + 4 } = \\
{}     & = & 2\sqrt{ \frac{t^2 + 1}{t^2} + t^2 + 1 } = \\
{}     & = & \sqrt{ 4\frac{26}{25} + 104 } = 
{}           2 \sqrt{ \frac{26}{25} + 26 } =
{}           2 \sqrt{ \frac{676}{25} } =
{}           2 \frac{26}{5} =
{}           \frac{52}{5};
{} \end{array}
>>

=item g)

Bestimme die Entfernung der Achsenabschnittpunkte einer Schargeraden allgemein.

Siehe f)

=item h)

Für welches M<t> beträgt die Entfernung der Achsenschnittpunkte genau M<4>?

M<<
{} \begin{array}{rcl}
{}    4    & = & \sqrt{ 4\frac{t^2 + 1}{t^2} + 4t^2 + 4 } \\
{}   16    & = & 4\frac{t^2 + 1}{t^2} + 4t^2 + 4 \\
{}   10    & = & 4\frac{t^2 + 1}{t^2} + 4t^2 \\
{}   10t^2 & = & 4t^2 + 4 + 4t^4 \\
{}       0 & = & 4t^4 - 6t^2 + 4 \\
{}       0 & = & 4u^2 - 6u   + 4
{} \end{array}
>>

M<<
{} D_u = 36 - 4\cdot{}4\cdot{}4 < 0 \Longrightarrow
{} \mathds{L}_t = \left\{\right\}
>>

=item i)

Zeichne die zu M<< t \in \left\{ 0; \pm \frac{1}{4}; \pm \frac{1}{2}; \pm 1;
\pm 2; \pm 4 \right\} >> gehörenden Graphen (Anm.: Ich habe für M<t> Werte von
M<-2> bis M<+2> mit einer Schrittweite von M<0,1> genommen).

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

f(t, x) = t*x + 2.*sqrt( t**2 + 1 )

set grid
set xrange [ -4 : 4 ]
set yrange [ -2 : 6 ]
plot f(-4, x) t "" w l lt 1, f(-3.5, x) t "" w l lt 1, f(-3, x) t "" w l lt 1, f(-2.5, x) t "" w l lt 1, f(-2, x) t "" w l lt 1, f(-1.5, x) t "" w l lt 1, f(-1, x) t "" w l lt 1, f(-0.5, x) t "" w l lt 1, f(0, x) t "" w l lt 1, f(0.5, x) t "" w l lt 1, f(1, x) t "" w l lt 1, f(1.5, x) t "" w l lt 1, f(2, x) t "" w l lt 1, f(2.5, x) t "" w l lt 1, f(3, x) t "" w l lt 1, f(3.5, x) t "" w l lt 1, f(4, x) t "" w l lt 1

=hend

=back