=for timestamp
Mo Jan 10 17:33:59 CET 2005

=head3 30. Hausaufgabe

=head4 Buch Seite 70, Aufgabe 6

Bestimme für die Folgen M<\langle a_\nu \rangle> den Grenzwert
M<\lim\limits_{\nu\to\infty} a_\nu> nach geeigneter Umformung des Terms:

=over

=item a)

M<\lim\limits_{\nu\to\infty} a_\nu = \lim\limits_{\nu\to\infty} \frac{\left(1 +
\nu\right)^2}{1 - \nu^2} = \lim\limits_{\nu\to\infty} \frac{1 + \nu}{1 - \nu} =
\frac{0 + 1}{0 - 1} = -1;>

=item b)

M<\lim\limits_{\nu\to\infty} a_\nu = \lim\limits_{\nu\to\infty}
3\frac{\sin\frac{\pi}{\nu}}{\sin\frac{\pi}{2\nu}} = 6;>

=item c)

M<\lim\limits_{\nu\to\infty} a_\nu = \lim\limits_{\nu\to\infty} \frac{\sqrt{\nu
+ 1} - \sqrt{v}}{\sqrt{\nu + 1} + \sqrt{\nu}} = \lim\limits_{\nu\to\infty}
\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{\nu}} - 1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\nu}} + 1} = \frac{1 -
1}{1 + 1} = 0;>

=back

=head4 Buch Seite 70, Aufgabe 9

Bestimme für die Folge M<\langle a_\nu \rangle> den Grenzwert M<a> und ermittle
eine natürliche Zahl M<n> so, dass M<\left|a_\nu - a\right| E<lt> 0,\!001> wird
für alle M<\nu E<gt> n>:

=over

=item a)

M<a_\nu = 2 + \frac{1}{\nu + 1}; \Rightarrow \lim\limits_{\nu\to\infty} a_\nu =
2 + 0 = 2;>

M<\Rightarrow n = 1000;>

=item b)

M<a_\nu = -3 + \frac{\left(-1\right)^\nu}{\sqrt{\nu}}; \Rightarrow
\lim\limits_{\nu\to\infty} a_\nu = -3 + 0 = -3;>

M<\Rightarrow n = 1000001;>

=back