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Mo Feb 14 16:49:00 CET 2005

=head3 37. Hausaufgabe

=head4 Buch Seite 116, Aufgabe 6

Wie lautet die Gleichung der "Halbtangente" an den Graphen der Funktion M<f: x
\mapsto x^3; x \in \left[ -1; \infty \right[> im Punkt M<P(-1; -1)>? Welche
Flächenmaßzahl hat das Dreieck, das die Halbtangente mit den Koordinatenachsen
bildet?

M<t: \dfrac{y - y_P}{x - x_P} = \dfrac{y + 1}{x + 1} = f'(-1) = 3; \Rightarrow
y = 3x + 3 - 1 = 3x + 2;>

M<t(0) = 2; t(-\frac{2}{3}) = 0;>

M<A = \frac{1}{2} 2 \frac{2}{3} = \frac{2}{3};>

=head4 Buch Seite 116, Aufgabe 8

Für den Graphen der Funktion M<f: x \mapsto \sqrt{x}; x \in \mathds{R}_0^+> ist
zu bestimmen:

=over

=item a)

Der Neigungswinkel der Tangente im Punkt M<P(\frac{3}{4}; ?);>

M<t: \dfrac{y - y_P}{x - x_P} = \dfrac{y - \sqrt{\frac{3}{4}}}{x - \frac{3}{4}}
= f'(\frac{3}{4}) = \dfrac{1}{2\sqrt{\frac{3}{4}}}; \Rightarrow>

M<y = \dfrac{x - \frac{3}{4}}{2\sqrt{\frac{3}{4}}} + \sqrt{\frac{3}{4}} =
\dfrac{x - \frac{3}{4}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}x -
\frac{\sqrt{3}}{4}; \Rightarrow>

M<\arctan \frac{\sqrt{3}}{3} = \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6};>

=item b)

Die Abszisse jenes Kurvenpunktes M<Q>, für den die Tangente unter M<\alpha =
60^\circ = \frac{\pi}{3}> gegen die M<x>-Achse geneigt ist.

M<f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}; \Rightarrow
\frac{1}{2\sqrt{3}} = \sqrt{x}; \Rightarrow x = \frac{1}{12};>

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