=for timestamp
Mi Mär  2 15:34:21 CET 2005

=head3 43. Hausaufgabe

=head4 Buch Seite 123, Aufgabe 15

Gegeben ist die Schar von Funktionen M<f_a: x \mapsto y = ax^2 - 2x + 1>, wobei
der Scharparameter M<a> eine beliebige reele Zahl vertritt.

=over

=item a)

Für welche Belegung von M<a> geht die Tangente in M<P(1, ?) \in G_{f_a}> durch
den Ursprung des Koordinatensystems?

M<\dfrac{t_a(x) - f(1)}{x - 1} = \dfrac{t_a(x) - a + 2 - 1}{x - 1} =
\dfrac{t_a(x) - a + 1}{x - 1} = f_a'(1) = 2a - 2;> ⇒

M<t_a: t_a(x) = 2ax - 2x - 2a + 2 + a - 1 = 2\left(a - 1\right)x + 1 - a;> ⇒

M<1 - a = 0; \Rightarrow a = 1;>

=item b)

Wie lautet die Gleichung der Normalen durch M<P> für beliebige Werte von M<a>?

M<\dfrac{n_a(x) - f(1)}{x - 1} = \dfrac{n_a(x) - a + 1}{x - 1} =
-\dfrac{1}{f_a'(1)} = -\dfrac{1}{2a - 2};> ⇒

M<n_a(x) = -\dfrac{x - 1}{2a - 2} + a - 1 = \dfrac{1}{2 - 2a}x - \dfrac{2a^2 -
4a + 3}{2 - 2a}; \quad a \neq 1;>

=item c)

Für welche M<a>-Werte bilden Tangente und Normale durch M<P> mit der M<y>-Achse
ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge M<\frac{5}{2}>? (Vier
Lösungen)

M<t_a(0) = 1 - a; \quad n_a(0) = -\dfrac{2a^2 - 4a + 3}{2 - 2a};>

M<n_a(0) - t_a(0) = \frac{5}{2}; \Rightarrow L_{a_1} = \ldots = \left\{
\frac{5}{4}, 2 \right\};>

M<t_a(0) - n_a(0) = \frac{5}{2}; \Rightarrow L_{a_2} = \ldots = \left\{ 0,
\frac{3}{4} \right\};>

⇒ M<L_a = L_{a_1} \cup L_{a_2} = \left\{ 0, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, 2
\right\};>

=back


=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\n\nx\n"
set ylabel "y\n\n"
set xrange [ -1.5 : 4.5 ]
set yrange [ -1.5 : 4.5 ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 1.000000

# Function definitions
f(a,x) = a*x**2. - 2.*x + 1.
t(a,x) = 2.*(a-1.)*x + 1. - a
n(a,x) = 1./(2. - 2.*a)*x + (-1.-2.*a**2.+4.*a-2.)/(2.-2.*a)

# Plotting
# Wieso nicht f und t_f bzw. g und t_g den gleichen lt? Weil auf'm Gedruckten
# lt 2 gestrichelt ist, lt 1 nicht.
plot f(5./4.,x) t "f_(5/4)" w l lt 1, \
     t(5./4.,x) t "t_(5/4)" w l lt 1, \
     n(5./4.,x) t "n_(5/4)" w l lt 1, \
     f(2.,x)    t "f_2"     w l lt 2, \
     t(2.,x)    t "t_2"     w l lt 2, \
     n(2.,x)    t "n_2"     w l lt 2

=hend