=for timestamp
Do Mär 10 16:46:49 CET 2005

=head3 47. Hausaufgabe

=head4 Selbstgestellte Aufgabe

M<\mathrm{f}(x) = -\frac{4}{5}x^5 + 3x^3 = -\frac{4}{5}x^3\left(x +
\frac{\sqrt{15}}{2}\right)\left(x - \frac{\sqrt{15}}{2}\right);>

=over

=item Nullstellen

M<N_1(-\frac{\sqrt{15}}{2}, 0); \quad N_2(0, 0); \quad N_3(\frac{\sqrt{15}}{2},
0);>

=item Symmetrie

M<\mathrm{f}(-x) = \frac{4}{5}x^5 - 3x^3 = -\mathrm{f}(x);> ⇒ Symmetrie zum
Ursprung;

=item Extrema und Terassenpunkte

M<\mathrm{f}'(x) = -4x^4 + 9x^2 = 0;> ⇒

M<x_1 = -\frac{3}{2}; \quad x_2 = 0; \quad x_3 = \frac{3}{2};>

M<\mathrm{f}''(x) = -16x^3 + 18x;>

=over

=item *

M<\mathrm{f}''(x_1) = \mathrm{f}''(-\frac{3}{2}) = 27 E<gt> 0; \Rightarrow
P_{\mathrm{TIP}}(-\frac{3}{2}, -\frac{81}{20});>

=item *

M<\mathrm{f}''(x_2) = \mathrm{f}''(0) = 0;> ⇒ Vorzeichenanalyse notwendig:
M<\mathrm{f}'(x)> wechselt das Vorzeichen in der Umgebung von M<x_2> nicht; ⇒
M<P_{\mathrm{TEP}}(0, 0);>

=item *

M<\mathrm{f}''(x_3) = \mathrm{f}''(\frac{3}{2}) = -27 E<lt> 0; \Rightarrow
P_{\mathrm{HOP}}(\frac{3}{2}, \frac{81}{20});>

=back

=back

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -3.000000 : 3.000000 ]
set yrange [ -8.000000 : 8.000000 ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 2.000000

# Function definitions
func0(x) = -4./5.*x**5. + 3.*x**3.
func1(x) = -4.*x**4. + 9.*x**2.

# Plotting
plot func0(x) t "f" w l lt 1, func1(x) t "f'" w l lt 2

=hend


=head4 Selbstgestellte Aufgabe

M<\mathrm{f}(x) = 2x^2 - \sqrt{x}; \quad D_f = \mathds{R}_0^+;>

=over

=item Nullstellen

M<N_1(0, 0); \quad N_2(\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}, 0);>

=item Symmetrie

M<\mathrm{f}> ist in M<\mathds{R}^-> nicht definiert; ⇒ Keine Symmetrie zur
M<y>-Achse oder zum Ursprung;

=item Extremum

M<\mathrm{f}'(x_0) = 4x_0 - \frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 0; \Rightarrow x_0 =
\frac{1}{4};>

M<\mathrm{f}'(x)> wechselt in der Umgebung von M<x_0> das Vorzeichen von M<->
nach M<+>; ⇒ M<P_{\mathrm{TIP}}(\frac{1}{4}, -\frac{3}{8});>

=item Monotonie

M<\mathrm{f}> ist in M<\left[ 0, \frac{1}{4} \right[> smf, in M<\left[
\frac{1}{4}, \infty \right[> sms.

=back

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n\n"
set xrange [ -0.000001 : 1.000000 ]
set yrange [ -0.500000 : 0.500000 ]
set grid
set xtics 0.250000
set ytics 0.200000

# Function definitions
func0(x) = 2.*x**2. - sqrt(x)
func1(x) = 4.*x - 1./(2.*sqrt(x))

# Plotting
plot func0(x) t "f" w l lt 1, func1(x) t "f'" w l lt 2

=hend