=head3 5. Hausaufgabe

=head4 Zettel, Aufgabe 58i

Siehe 3. Hausaufgabe.

=head4 Zettel, Aufgabe 56

Die Geraden einer Schar haben folgende Eigenschaft:

Die Koordinatenachsen und eine Schargerade bestimmen jeweils ein rechtwinkliges
Dreieck im ersten Quadranten mit dem Flächeninhalt M<A = 8>.

=over

=item a)

Bestimme die Scharfunktionen M<f_t>.

M<< f_t: x \mapsto -tx + td; >>

M<< a:   x \mapsto td; >>

M<< -tx + td = 0; \Longrightarrow d = x; \Longrightarrow b: x \mapsto d; >>

M<< \frac{1}{2} td d = A; \Longrightarrow d^2 = \frac{2A}{t}; \Longrightarrow d
= \frac{\sqrt{2At}}{t}; >>

M<< f_t: x \mapsto -tx + \sqrt{2At}; >>

=item b)

Welche Nullstelle hat M<f_t>?

Siehe a) (Variable M<d>)

=item c)

Bestimme die Schar der Funktionen M<g_t>, deren Graphen durch M<\left(4;
4\right)> verlaufende Geraden sind; dabei soll M<G_{g_t}> auf M<G_{f_t}>
senkrecht stehen.

M<< g_t: x \mapsto \frac{1}{t}x + c; >>

M<< \frac{1}{t} \cdot 4 + c = 4; \Longrightarrow c = 4 - \frac{4}{t}; >>

M<< g_t: x \mapsto \frac{1}{t}x + 4 - \frac{4}{t}; >>

=back

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

set grid
set xrange [ 0 : 9 ]
set yrange [ 0 : 9 ]

f(t, x) = -t*x + sqrt(2.*8.*t)
g(t, x) = 1./t*x + 4 - 4./t

plot f(1, x) w l lt 1, g(1, x) w l lt 1, \
     f(2, x) w l lt 2, g(2, x) w l lt 2, \
     f(3, x) w l lt 3, g(3, x) w l lt 3

=hend