=for timestamp
Mo Mai  2 16:56:54 CEST 2005

=head3 55. Hausaufgabe

=head4 Buch Seite 163, Aufgabe 14

Gegeben ist M<\mathrm{f}: x \mapsto \mathrm{f}(x) = \frac{1}{7}\left|x^2 + 3x -
10\right|.>

Wo ist M<\mathrm{f}> nicht differenzierbar? Zeichne M<G_{\mathrm{f}}> und
M<G_{\mathrm{f}'}> in M<\left[ -6, 6 \right]>! Welche sprunghafte
Richtungsänderung erfährt die Tangente beim Überschreiten jener Stellen, an
denen die Funktion keine Ableitung hat? Wo ist M<\mathrm{f}(x) E<lt>
\frac{7}{4}>?

M<x^2 + 3x - 10 = 0; \Rightarrow x_1 = -5; \quad x_2 = 2;>

M<
{} \mathrm{f}'(x) = \begin{cases}
{}   \frac{1}{7} \left(2x + 3\right) & \text{f"ur } x E<lt> -5 \vee x E<gt> 2; \\
{}   -\frac{1}{7}\left(2x + 3\right) & \text{f"ur } x \in \left] -5, 2 \right[;
{} \end{cases}
>

M<\lim\limits_{x \to -5\pm} \mathrm{f}'(x) = \mp 1;> ⇒ M<\mathrm{f}> ist an
M<-5> nicht diffbar;

M<\lim\limits_{x \to 2\pm}  \mathrm{f}'(x) = \pm 1;> ⇒ M<\mathrm{f}> ist an
M<2> nicht diffbar;

Die Richtungsänderung beträgt jeweils M<90^\circ>.

M<\frac{1}{7}\left(x^2 + 3x - 10\right) E<lt> \frac{7}{4}; \Rightarrow L =
\left] -\dfrac{7\sqrt{2} + 3}{2}, \dfrac{7\sqrt{2} - 3}{2} \right[ \setminus
\left\{ -\dfrac{3}{2} \right\};>

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -6.000000 : 6.000000 ]
set yrange [ -1.500000 : 2.000000 ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 1.000000

# Function definitions
func0(x) = 1./7.*abs(x**2. + 3.*x - 10.)
func1(x) = 1./7.*(2.*x + 3.)
func2(x) = -1./7.*(2.*x + 3.)

# Plotting
plot \
  func0(x) t "f" w l lt 1, \
  "<echo -e '-6 -1.29\\n-5 -1.00'" t "f'" w l lt 2, \
  "<echo -e '-5  1.00\\n 2 -1.00'" t "" w l lt 2, \
  "<echo -e ' 2  1.00\\n 6  2.14'" t "" w l lt 2, \
  7./4.

=hend