=for timestamp
Mo Mai  9 17:47:52 CEST 2005

=head3 56. Hausaufgabe

=head4 Selbstgestellte Aufgabe

M<\mathrm{f}(x) = \frac{x}{3}\left|x^2 - 4\right|; \quad D_{\mathrm{f}} =
\mathds{R};>

=over

=item Nullstellen

M<\mathrm{f}(x) = 0;>

⇒ M<N_1(-2, 0); \quad N_2(0, 0); \quad N_3(2, 0);>

=item Symmetrie

M<\mathrm{f}(-x) = \frac{-x}{3}\left|\left(-x\right)^2 - 4\right| =
-\frac{x}{3}\left|x^2 - 4\right| = -\mathrm{f}(x);> ⇒

Punktsymmetrie zum Ursprung;

=item Extrema

M<<
{} \mathrm{f}(x) = \begin{cases}
{}   \frac{x}{3}\left(x^2 - 4\right) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{4}{3}x
{}     & \text{f"ur } x \in
{}         \left]-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right[; \\
{}   -\frac{x}{3}\left(x^2 - 4\right) = -\left(\frac{1}{3}x^3 - \frac{4}{3}x\right)
{}     & \text{f"ur } x \in \left]-2, 2\right[;
{} \end{cases}
>>

⇒ M<<
{} \mathrm{f}'(x) = \begin{cases}
{}   x^2 - \frac{4}{3} &
{}     \text{f"ur } x \in \left]-\infty, -2\right[ \cup \left]2, \infty\right[; \\
{}   -\left(x^2 - \frac{4}{3}\right) &
{}     \text{f"ur } x \in \left]-2, 2\right[;
{} \end{cases}
>>

⇒ M<\pm\left(x_0^2 - \frac{4}{3}\right) = 0; \Rightarrow x_0^2 = \frac{4}{3};>

⇒ M<x_1 = -\sqrt{\frac{4}{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{3}\sqrt{3}; \quad
x_2 = \frac{2}{3}\sqrt{3};>

Vorzeichenanalyse von M<\mathrm{f}'>:

=over

=item M<x_1 = -\frac{2}{3}\sqrt{3};>

Vorzeichenwechsel von M<\mathrm{f}'> von M<-> nach M<+>; ⇒
M<P_{\mathrm{TIP}, 1}(-\frac{2}{3}\sqrt{3}, -\frac{16}{27}\sqrt{3});>

=item M<x_2 = \frac{2}{3}\sqrt{3};>

Vorzeichenwechsel von M<\mathrm{f}'> von M<+> nach M<->; ⇒
M<P_{\mathrm{HOP}, 1}(\frac{2}{3}\sqrt{3}, \frac{16}{27}\sqrt{3});>

=item M<x_3 = -2;>

Vorzeichenwechsel von M<\mathrm{f}'> von M<+> nach M<->; ⇒
M<P_{\mathrm{HOP}, 2}(-2, 0);>

=item M<x_4 = 2;>

Vorzeichenwechsel von M<\mathrm{f}'> von M<-> nach M<+>; ⇒
M<P_{\mathrm{TIP}, 2}(2, 0);>

=back

=item Wendepunkte

M<<
{} \mathrm{f}''(x) = \begin{cases}
{}   2x &
{}     \text{f"ur } x \in \left]-\infty, -2\right[ \cup \left]2, \infty\right[; \\
{}   -2x &
{}     \text{f"ur } x \in \left]-2, 2\right[;
{} \end{cases}
>>

M<\pm 2x_5 = 0; \Rightarrow x_5 = 0;>

⇒ M<P_{\mathrm{WEP}, 1}(0, 0);>

Sowie: M<P_{\mathrm{WEP}, 2}(-2, 0); \quad P_{\mathrm{WEP}, 3}(2, 0);>

=back


=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel ""
set ylabel ""
set xrange [ -2.900000 : 2.900000 ]
set yrange [ -2.500000 : 2.500000 ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 1.000000

# Function definitions
func0(x) = x/3. * abs(x**2. - 4.)
func1(x) = -(x**2. - 4./3.)

# Plotting
plot func0(x) t "f" w l lt 1, func1(x) t "f'" w l lt 2

=hend