=for timestamp
Sa Jun 11 16:56:07 CEST 2005

=head3 59. Hausaufgabe

=head4 Buch Seite 145, Aufgabe 14

Gegegen ist die Funktion M<\varphi: x \mapsto \varphi(x) = y = \sqrt{4 - x^2};
\quad x \in D_{\mathrm{max}};>

=over

=item a)

Gib M<D_{\mathrm{max}}> an!

M<4 - x^2 \ge 0; \Rightarrow 4 \ge x^2; \Rightarrow 2 \ge \left|x\right|;>

⇒ M<D_{\mathrm{max}} = \left[ -2, 2 \right];>

=item b)

Differenziere M<\varphi> und bestimme den Differenzierbarkeitsbereich
M<D_{\varphi'}>!

M<\varphi'(x) = -\dfrac{2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = -\dfrac{x}{\sqrt{4 - x^2}};>

⇒ M<D_{\varphi'} = D_{\mathrm{max}} \setminus \left\{ -2, 2 \right\} = \left] -2, 2
\right[;>

=item c)

Stelle die Gleichung der Normalen in einem beliebigen Punkt M<P(x_0, y_0)> des
Funktionsgraphen M<G_\varphi> auf und zeige, dass sie durch den Ursprung geht!

M<\dfrac{n(x) - \varphi(x_0)}{x - x_0} = -\dfrac{1}{\varphi'(x_0)} =
\dfrac{\sqrt{4 - x_0^2}}{x_0};>

⇒ M<n(x) = \frac{x}{x_0} \sqrt{4 - x_0^2};>

M<n(0) = \frac{0}{x_0} \sqrt{4 - x_0^2} = 0;> ⇒ Die Normale in einem beliebigen
Punkt M<P(x_0, y_0)> des
Funktionsgraphen M<G_\varphi> geht durch den Ursprung;

=item d)

Zeichne M<G_\varphi> und erkläre das Ergebnis von Teilaufgabe c) geometrisch!
Hinweis: Berechne M<x^2 + y^2>!

M<x^2 + n(x)^2 = x^2 + \left(\frac{x}{x} \sqrt{4 - x^2}\right)^2 = x^2 + 4 -
x^2 = 2^2;>

⇒ Bei M<\varphi(x)> handelt es sich um einen Halbkreis mit dem Radius M<2>;

=back

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -2.000000 : 2.000000 ]
set yrange [ -1.000000 : 3.000000 ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 1.000000

# Function definitions
func0(x) = sqrt(4. - x**2.)
func1(x) = -x/sqrt(4. - x**2.)
func2(x, k) = x/k * sqrt(4. - k**2.)

# Plotting
plot func0(x) t "phi" w l lt 1, func1(x) t "phi'" w l lt 2, func2(x, -1.500000) t "n" w l lt 3, func2(x, -1.000000) t "" w l lt 3, func2(x, -0.500000) t "" w l lt 3, func2(x, 0.000000) t "" w l lt 3, func2(x, 0.500000) t "" w l lt 3, func2(x, 1.000000) t "" w l lt 3, func2(x, 1.500000) t "" w l lt 3

=hend