=for timestamp
Mi Jun 15 18:19:50 CEST 2005

=head3 60. Hausaufgabe

=head4 Buch Seite 164, Aufgabe 22c mit M<W_{\mathrm{f}}> und Graph

Bestimme die Wertemengen der folgenden Funktion mit Hilfe der Extremwerte und
des Verhaltens an Unendlichkeitsstellen sowie für M<x \to \pm\infty>!

M<\mathrm{f}: x \mapsto \mathrm{f}(x) = \dfrac{x^2}{x^4 + 1}; \quad
D_{\mathrm{f}} = \mathds{R};>

M<\mathrm{f}(x) \to 0> für M<x \to \infty;>

M<\mathrm{f}'(x) = \dfrac{\left(x^4 + 1\right) \cdot 2x - x^2 \cdot
4x^3}{\left(x^4 + 1\right)^2} = \dfrac{2x^5 + 2x - 4x^5}{\left(x^4 +
1\right)^2} = \dfrac{-2x^5 + 2x}{\left(x^4 + 1\right)} = -2x\dfrac{x^4 -
1}{\left(x^4 + 1\right)^2};>

Vorzeichenwechselanalyse gibt:

=over

=item *

M<\mathrm{f}> ist sms in M<\left]-\infty, -1\right]> und M<\left[0, 1\right]>;

=item *

M<\mathrm{f}> ist smf in M<\left]-1, 0\right[> und M<\left]1, \infty\right[>;

=item *

M<P_{\mathrm{HOP}}(-1, \frac{1}{2});>

=item *

M<P_{\mathrm{HOP}}(1, \frac{1}{2});>

=item *

M<P_{\mathrm{TIP}}(0, 0);>

=back

⇒ M<W_{\mathrm{f}} = \left[ 0, \frac{1}{2} \right];>

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -5.000000 : 5.000000 ]
set yrange [ -0.600000 : 0.600000 ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 1.000000

# Function definitions
func0(x) = x**2./(x**4.+1.)
func1(x) = -2.*x*(x**4.-1.)/((x**4.+1.)**2.)

# Plotting
plot func0(x) t "f" w l lt 1, func1(x) t "f'" w l lt 2

=hend