=for timestamp
So Jun 19 14:59:31 CEST 2005

=head3 61. Hausaufgabe

=head4 Aufgabe 2 der Test-SA

Bestimme die ganzrationale Funktion M<\mathrm{f}> dritten Grades, deren Graph
im Ursprung einen Wendepunkt hat. Außerdem hat der Graph im Punkt M<P(2, 0)>
eine Tangente, die parallel zur Geraden M<y = -8x + 1> verläuft. (Kontrolle?)

M<\mathrm{f}(x)   = ax^3 + bx^2 + cx + d; \\>
M<\mathrm{f}'(x)  = 3ax^2 + 2bx + c; \\>
M<\mathrm{f}''(x) = 6ax + 2b;>

M<<
{} \begin{array}{llcl}
{}   \mathrm{I.}   & \mathrm{f}(0)   =  0; &\Rightarrow& d = 0; \\
{}   \mathrm{II.}  & \mathrm{f}''(0) =  0; &\Rightarrow& 2b = 0; \Rightarrow b = 0; \\
{}   \mathrm{III.} & \mathrm{f}(2)   =  0; &\Rightarrow& 8a + 2c = 8a - 16 - 24a = 0; \Rightarrow a = -1; \\
{}   \mathrm{IV.}  & \mathrm{f}'(2)  = -8; &\Rightarrow& 12a + c = -8; \Rightarrow c = -8 - 12a; \Rightarrow c = -8 + 12 = 4;
{} \end{array}
>>

⇒ M<\mathrm{f}(x) = -x^3 + 4x;>

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -3.000000 : 3.000000 ]
set yrange [ -4.000000 : 5.000000 ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 1.000000

# Function definitions
func0(x) = -x**3. + 4.*x
func1(x) = -3.*x**2. + 4.
func2(x) = -6.*x

# Plotting
plot func0(x) t "f" w l lt 1, func1(x) t "f'" w l lt 2, func2(x) t "f''" w l lt 3

=hend

=head4 Aufgabe 4 der Test-SA

Betrachtet wird die Funktionenschar M<\mathrm{f}_t(x) = \frac{t}{3}x^3 + 3x^2 -
5x> mit M<t \neq 0>.

=over

=item a)

Für welche Werte des Parameters M<t> besitzen die Funktionen M<\mathrm{f}_t>
keine, genaue eine, zwei waagrechte Tangenten?

M<\mathrm{f}_t'(x) = tx^2 + 6x - 5 = 0;>

⇒ M<x_{1,2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{36 + 20t}}{2t};>

⇒ M<36 + 20t = 0; \Rightarrow t = -\frac{9}{5};>

=over

=item *

Für M<t E<lt> -\frac{9}{5}>: Keine waagrechten Tangenten

=item *

Für M<t = -\frac{9}{5}>: Genau eine waagrechte Tangente

=item *

Für M<t E<gt> -\frac{9}{5}>: Genau zwei waagrechte Tangenten

=back

=item b)

Zeige, dass die Kurven M<G_{\mathrm{f}_t}> genau einen Wendepunkt M<W> besitzen
und bestimme dessen Koordinaten in Abhängigkeit von M<t>.

M<\mathrm{f}_t''(x_W(t)) = 2tx_W(t) + 6 = 0; \Rightarrow x_W(t) = -\frac{3}{t};>

M<y_W(t) = \mathrm{f}\!\left(-\frac{3}{t}\right) = \frac{15}{t} +
\frac{18}{t^2} = 2 \frac{3}{t}\frac{3}{t} + 5\frac{3}{t};>

=item c)

Bestimme die Gleichung der Ortslinie, auf der alle Wendepunkte der Schar
liegen. Welcher Punkt dieser Kurve ist kein Wendepunkt der Schar? (Begründung!)

M<x_W(t) = -\frac{3}{t}; \Rightarrow t = -\frac{3}{x_W(t)}; \quad x \neq 0;>

⇒ M<y_W(x_W(t)) = y_W(x) = 2x^2 - 5x; \quad x \neq 0;>

M<(0, 0)> ist kein Wendepunkt der Schar M<\mathrm{f}_t>.

=back

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -1.000000 : 7.000000 ]
set yrange [ -6.000000 : 9.000000 ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 1.000000

# Function definitions
func0(x, k) = k/3.*x**3. + 3.*x**2. - 5.*x
func1(x, k) = k/3.*x**3. + 3.*x**2. - 5.*x
func2(x, k) = k/3.*x**3. + 3.*x**2. - 5.*x
func3(x) = 2.*x**2. - 5.*x

# Plotting
plot func0(x, -1.800000) t "f_{-9/5}" w l lt 1, func1(x, -5.000000) t "f_{-5}" w l lt 2, func2(x, -1.000000) t "f_{-1}" w l lt 3, func3(x) t "y_W" w l lt 4

=hend