=for timestamp
Mo Jun 20 18:58:48 CEST 2005

=head3 62. Hausaufgabe

=head4 Aufgabe 3 der Test-SA

Gegeben: M<\mathrm{f}: x \mapsto \mathrm{f}(x) = \dfrac{x^2}{2x - 2}; \quad
D_{\mathrm{f}} = \mathds{R} \setminus \left\{ 1 \right\};>

=over

=item a)

Bestimme die Monotoniebereiche von M<\mathrm{f}> und schließe damit auf die Art
und Lage der Extrema von M<\mathrm{f}>.

M<\mathrm{f}'(x) = \ldots = 2x \dfrac{x - 2}{\left(2x - 2\right)^2};>

M<\mathrm{f}> ist sms in M<\left]-\infty, 0\right[> und M<\left]2, \infty\right[;>

M<\mathrm{f}> ist smf in M<\left]0, 1\right[> und M<\left]1, 2\right[;>

M<P_{\mathrm{HOP}}(0, 0); \quad>
M<P_{\mathrm{TIP}}(2, 2); \quad>
Uendlichkeitsstelle mit VZW bei M<x = 1;>

=item b)

Gegeben ist ferner die Funktion M<\mathrm{g}: x \mapsto \mathrm{g}(x) =
\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}>. Berechne M<\lim\limits_{x \to
\infty}\left[\mathrm{f}(x) - \mathrm{g}(x)\right]> und deute dieses Ergebnis
geometrisch!

M<\lim\limits_{x\to\infty}\left[\dfrac{x^2}{2x - 2} - \dfrac{x + 1}{2}\right] =
\lim\limits_{x\to\infty}\left[\dfrac{x^2 - \left(x + 1\right)\left(x -
1\right)}{2\left(x - 1\right)}\right] =
\lim\limits_{x\to\infty}\left[\dfrac{x^2 - x^2 + 1}{2\left(x -
1\right)}\right];> ⇒ M<\mathrm{f}(x) - \mathrm{g}(x) \to 0> für M<x \to
\infty;>

M<\mathrm{g}(x)> ist eine Asymptote von M<\mathrm{f}(x)>;

=back


=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -5.000000 : 5.000000 ]
set yrange [ -5.000000 : 5.000000 ]
set grid
set xtics 2.000000
set ytics 2.000000

# Function definitions
func0(x) = x**2./(2.*x-2.)
func1(x) = x/2. + 1./2.

# Plotting
plot func0(x) t "f" w l lt 1, func1(x) t "g" w l lt 2

=hend