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Di Jul  5 17:08:05 CEST 2005

=head3 65. Hausaufgabe

=head4 Buch Seite 178, Aufgabe 16

Einem geraden Kreiskegel wird ein gerader Kreiszylinder einbeschrieben. Man
zeige, dass das Zylindervolumen nicht größer sein kann als M<\frac{4}{9}> des
Kegelvolumens.

M<\mathrm{g}(x) = \frac{H}{R} x;>

⇒ M<h = \mathrm{g}(R - r) = H\left(1 - \frac{r}{R}\right);>

⇒ M<\mathrm{v}(r) = \pi r^2 H \left(1 - \frac{r}{R}\right) = \pi r^2 H - \pi
r^3 \frac{H}{R}; >

⇒ M<\mathrm{v}'(r) = 2\pi r H - 3\pi r^2 \frac{H}{R} = 0; \Rightarrow r =
\frac{2}{3} R;>

⇒ M<v_{\mathrm{max}} = \mathrm{v}(\frac{2}{3}R) = \frac{4}{9}\pi R^2 H\left(1 -
\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{27} \pi R^2 H;>

M<V = \frac{1}{3} \pi R^2 H;>

⇒ M<\frac{v_{\mathrm{max}}}{V} = \frac{4}{9};>