=for timestamp
Mi Mai 11 16:56:45 CEST 2005

=head3 Zusammengesetzte Funktionen und Kettenregel

Sei M<\mathrm{f}(x) = \mathrm{h}(\mathrm{g}(x)) = \mathrm{h}(u)> mit M<u =
\mathrm{g}(x)> und M<u_0 = \mathrm{g}(x_0);>

Differenzenquotient an der Stelle M<x_0>:

M<\mathrm{D}(x_0) = \dfrac{\mathrm{f}(x) - \mathrm{f}(x_0)}{x - x_0} =
\dfrac{\mathrm{h}(\mathrm{g}(x)) - \mathrm{h}(\mathrm{g}(x_0))}{x - x_0} =
\dfrac{\mathrm{h}(u) - \mathrm{h}(u_0)}{x - x_0} = \dfrac{\mathrm{h}(u) -
\mathrm{h}(u_0)}{u - u_0} \cdot \dfrac{u - u_0}{x - x_0} = \dfrac{\mathrm{h}(u)
- \mathrm{h}(u_0)}{u - u_0} \dfrac{\mathrm{g}(x) - \mathrm{g}(x_0)}{x - x_0};>

Für M<x \to x_0> folgt:

M<\mathrm{f}'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{\mathrm{h}(u)
- \mathrm{h}(u_0)}{u - u_0} \dfrac{\mathrm{g}(x) - \mathrm{g}(x_0)}{x - x_0} =
\mathrm{h}'(u_0) \cdot \mathrm{g}'(x_0);>


=for timestamp
Do Mai 26 17:48:35 CEST 2005

=for comment
Schon in der letzten I19G-Stunde, also am 12.5.2005.

=head4 Die Kettenregel

Ist M<\mathrm{g}(x)> an der Stelle M<x_0> und M<\mathrm{h}(u)> and der Stelle
M<u_0 = \mathrm{g}(x_0)> diffbar, so ist auch die Verkettung M<\mathrm{f}(x) =
\mathrm{h}(\mathrm{g}(x))> an der Stelle M<x_0> diffbar und es gilt:

M<\mathrm{f}'(x_0) = \mathrm{h}'(u_0) \cdot \mathrm{g}'(x_0) =
\mathrm{h}'(\mathrm{g}(x_0)) \cdot \mathrm{g}'(x_0);>


=for timestamp
Mi Jun  8 16:16:44 CEST 2005

=head4 Ableitung von Quotienten

M<\mathrm{f}(x) = \frac{1}{v(x)}; \Rightarrow \mathrm{f}'(x) =
-\frac{v'(x)}{v(x)^2};>

M<\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]' = \left[ u(x) \cdot \dfrac{1}{v(x)} \right]
= \dfrac{u'(x)}{v(x)} + \dfrac{-u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2} = \dfrac{u'(x)v(x) -
u(x)v'(x)}{v(x)^2};>

Kurz: M<\left(\frac{u}{v}\right)'> "M<=>" M<\dfrac{u'v - v'u}{v^2};>
(Quotientenregel)

Merkregel: "Z/W = (N*AZ - Z*AN)/N^2"

=for comment
Weitere Übungen omitted.


=for timestamp
Mo Jul 11 18:05:52 CEST 2005

=head4 Die Regel von L'Hospital

Mittelwertsatz: In M<\left]a, b\right[> gibt es mindestens eine Stelle M<x_0>
mit M<\mathrm{f}'(x_0) = \dfrac{\mathrm{f}(b) - \mathrm{f}(a)}{b - a}>.

⇒ M<\mathrm{f}(b) = \mathrm{f}(a) + \left(b - a\right) \mathrm{f}'(x_0);>

Mit M<b = a + h;>

⇒ M<\mathrm{f}(a + h) = \mathrm{f}(a) + h \mathrm{f}'(x_0);>

M<x_0 = a + \vartheta h; \quad> (M<0 E<lt> \vartheta E<lt> 1>)

⇒ M<\mathrm{f}(a + h) = \mathrm{f}(a) + h \mathrm{f}'(a + \vartheta h);>

Regel von L'Hospital: M<\mathrm{f}(x) = \dfrac{\mathrm{u}(x)}{\mathrm{v}(x)};>

Gesucht: M<\lim\limits_{x \to a} \mathrm{f}(x)>, wobei M<\mathrm{u}(a) =
\mathrm{v}(a) = 0;>

Falls M<\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\mathrm{u}'(x)}{\mathrm{v}'(x)}>
existiert, so gilt

M<\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\mathrm{u}(x)}{\mathrm{v}(x)} =
\dfrac{\mathrm{u}'(x)}{\mathrm{v}'(x)};>

Beweis: Aus dem Mittelwertsatz folgt

M<\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\mathrm{u}(x)}{\mathrm{v}(x)} = \lim\limits_{x
\to a} \dfrac{\mathrm{u}(a + h)}{\mathrm{v}(a + h)} = \lim\limits_{h \to 0}
\dfrac{\mathrm{u}(x) + h \mathrm{u}'(x)(a + \vartheta_1 h)}{\mathrm{v}(x) + h
\mathrm{v}'(x)(a + \vartheta_2 h)} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{h
\mathrm{u}'(x)(a + \vartheta_1 h)}{h
\mathrm{v}'(x)(a + \vartheta_2 h)} = \dfrac{\mathrm{u}'(x)}{\mathrm{v}'(x)} =
\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\mathrm{u}(x)}{\mathrm{v}(x)};>