=head2 Tests

=head3 1. Extemporale aus der Mathematik

Gruppe A, geschrieben am 30.9.2004.

M<f_t\left(x\right) = \frac{t}{4}x - \left(2t+1\right); t \in \mathds{R}; x \in
\mathds{R};>

=over

=item Z<>1a) (4 Punkte)

Welche Schargerade steht auf der Schargeraden mit dem Parameterwert M<t = 1>
senkrecht? Funktionsgleichung und zugehörigen Parameterwert bestimmen!

M<m = \frac{1}{4}; \overline{m} = -4;>

M<\frac{t}{4} = -4; \Longrightarrow t = -16;>

M<f_{-16}\left(x\right) = -4x - \left(2\cdot{}-16+1\right) = -4x + 31;>

=item 1b) (3 Punkte)

In welchem Punkt M<S> schneiden sich diese beiden zueinander senkrechten
Geraden? Rechnung!

M<<
{} \begin{array}{rcl|l}
{}   \frac{1}{4}x - 3 & = & -4x + 31 & +4x +3 \\
{}   \frac{17}{4}x    & = & 34       & \cdot \frac{4}{17} \\
{}                  x & = & 8
{} \end{array}
>>

M<< y = \frac{1}{4} \cdot 8 - 3 = -1; >>

M<< S\left(8; -1\right); >>

=item 2) (3 Punkte)

Bestimme die Achsenschnittpunkte M<S_x> und M<S_y> der Schargeraden in
Abhängigkeit von M<t>.

M<< S_y\left(0; -2t-1\right); >>

M<<
{} \begin{array}{rcl|l}
{}   \frac{t}{4}x - \left(2t+1\right) & = & 0      & +\left(2t+1\right) \\
{}   \frac{t}{4}x                     & = & 2t + 1 & \cdot\frac{4}{t}   \\
{}              x                     & = & \frac{8t + 4}{t}
{} \end{array}
>>

M<< S_x\left(\frac{8t + 4}{t}; 0\right); >>

=item 3) (5 Punkte)

Bei welchem Parameterwert sind die Nullstellen M<2> Längeneinheiten vom
Ursprung entfernt?

M<<
{} \begin{array}{rcl|l}
{}   \frac{8t + 4}{t} & = & \pm 2 & \cdot t \\
{}   8t + 4           & = & t \cdot \pm 2 & -t\cdot\pm 2 - 4 \\
{}   t\left(8 - \pm 2\right) & = & -4 & : \left(...\right) \\
{}   t & = & -\frac{4}{8 - \pm 2}
{} \end{array}
>>

M<< t_1 = -\frac{2}{3}; t_2 = -\frac{2}{5}; >>

=item 4) (4 Punkte)

Untersuche, ob alle Stellen der M<x>-Achse Nullstellen von Schargeraden sind!

M<<
{} \begin{array}{rcl|l}
{}   \frac{8t + 4}{t} & = & x & \cdot t \\
{}   8t + 4           & = & tx & -tx - 4 \\
{}   t\left(8 - x\right) & = & -4 & : \left(...\right) \\
{}   t & = & -\frac{4}{8 - x}
{} \end{array}
>>

M<<
{} \begin{array}{rcl|l}
{}   8 - x & \neq & 0 & +x \\
{}       8 & \neq & x
{} \end{array}
>>

M<x = 8> kann keine Nullstelle sein.

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