=for timestamp
Mo Okt 25 19:30:17 CEST 2004

=head3 1. Schulaufgabe

Geschrieben am 21.10.2004

=over

=item Z<>1. (4 Punkte für die Rechnung, 4 auf den Graph)

=for comment
Mücke hat hier überall *würg* 0,5 statt 1/2
Nur als Info
^^

Gegeben ist die Funktion M<f(x) = \left|x + \frac{1}{2}\right| -
\left|\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x\right|> mit M<\mathds{D}_f = \left[ -5; 5
\right]>.

Bestimme eine betragsfreie Darstellung von M<f(x)> und zeichne den Graphen für
M<x \in \mathds{D}_f>.

⇒ M<f(x) = \begin{cases}
{} -\frac{1}{2}x - 1 & \text{f"ur } \mathds{D}_f \ni x \leq -\frac{1}{2}; \\
{} \frac{3}{2}x      & \text{f"ur } -\frac{1}{2} < x \leq 1; \\
{} \frac{1}{2}x + 1  & \text{f"ur } \mathds{D}_f \ni x E<gt> 1;
\end{cases}>

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

f(x) = abs(x + 1./2.) - abs(1./2. - 1./2.*x)

set grid
set xrange [ -5 : 5 ]
plot f(x)

=hend

=item 2.

M<f: x \mapsto y = -x^2 + 2x + 6; \mathds{D}_f = \mathds{R};>

=over

=item a) (3 Punkte)

Bestimme einen möglichst großen Teilbereich M<\mathds{D}_{f_1}> von
M<\mathds{D}_f> so, dass M<f> in M<\mathds{D}_{f_1}> umkehrbar ist und die Null
in M<\mathds{D}_{f_1}> liegt. (Scheitel bestimmen!)

M<f'(x) = -2x + 2 = 0; \Longrightarrow x = 1; \Longrightarrow S(1; 7);>

⇒ M<\mathds{D}_{f_1} = \left] -\infty; 1 \right];>

=item b) (6 Punkte)

Bestimme Term, Definitionsbereich und Wertemenge der Umkehrfunktion
M<f_1^{-1}(x)> von M<f> in diesem Teilbereich M<\mathds{D}_{f_1}>.

M<0 = -x^2 + 2x + 6 - y; \Longrightarrow x = 1 \pm \frac{7 - y};>

⇒ M<<
{} f_1^{-1}(x) = 1 - \sqrt{7 - x}; \\
{} \mathds{D}_{f_1^{-1}} = \mathds{W}_{f_1} = \left] -\infty; 7 \right]; \\
{} \mathds{W}_{f_1^{-1}} = \mathds{D}_{f_1} = \left] -\infty; 1 \right];
>>

=item c) (7 Punkte)

Gegeben ist zusätzlich die Geradenschar M<g_a: y = ax + 7>.

Zeige, dass genau zwei Geraden aus der Schar den Graphen von M<f> (mit
M<\mathds{D}_f = \mathds{R}>) berühren! Bestimme dazu die Gleichungen der
Berührgeraden.

M<ax + 7 = -x^2 + 2x + 6; \Longrightarrow 0 = -x^2 + x\left(2 - a\right) - 1;
\Longrightarrow D = 4 - 4a + a^2 - 4 \cdot -1 \cdot -1 = a^2 - 4a = 0;>

⇒ M<a_1 = 0; a_2 = 4;>

⇒ M<g_0: y = 7; g_4: y = 4x + 7;>

=back

=item 3.

M<f: x \mapsto y = \frac{2x}{2\left|x\right| + 3}; \mathds{D}_f = \mathds{R};>

=over

=item a) (3 Punkte)

Zeige: M<f> ist symmetrisch. (Nachweis und Bestimmung der Symmetrieart!)

M<f(-x) = -\frac{2x}{2\left|-x\right| + 3} = -f(x);> ⇒ Symmetrie zum Ursprung;

=item b) (6 Punkte)

Untersuche M<f> für M<x \geq 0> auf Monotonie. Welche Monotonieeigenschaft hat
M<f> demnach im ganzen Definitionsbereich M<\mathds{D}_f>? (Symmetrie!)

M<x_1, x_2 \geq 0; x_1 < x_2; \Longrightarrow f(x_2) - f(x_1) =
\frac{2x_2}{2x_2 + 3} - \frac{2x_1}{2x_1 + 3} = \frac{4x_1x_2 + 6x_2 - 4x_1x_2
- 6x_1}{\mathrm{HN}} = 6 \frac{x_2 - x_1}{\mathrm{HN}} M<gt> 0;> ⇒ M<f> ist für
M<x \geq 0> streng monoton steigend.

Symmetrie; ⇒ M<f> ist in ganz M<\mathds{D}_f> streng monoton steigend.

=item c) (3 Punkte)

Begründe, dass M<f> in M<\mathds{D}_f> beschränkt ist.

[Ergebnisse aus a) und b) sollen hier verwendet werden!]

M<y = \frac{2x}{2x + 3}; \Longrightarrow 2xy + 3y = 2x; \Longrightarrow
x\left(2y - 2\right) = -3y; \Longrightarrow x = -\frac{3y}{2y - 2} M<gt> 0;
\Longrightarrow y \neq 1; -\frac{3y}{2y - 2} \geq 0; \Longrightarrow y \leq 0;
\Longrightarrow \left(y \leq 0 \cap y \geq 0\right) \cup \left(y \geq 0 \cap y
\leq 1\right);>

⇒ M<\mathds{W}_f = \left] -1; 1 \right[;>

=back

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