=for timestamp
Di Mai  3 15:13:24 CEST 2005

=head3 21. Hausaufgabe

=head4 Selbstgestellte Aufgabe

Gegeben sind die Abbildungen

=over

=item *

M<\mathrm{f}_1(z) = z^*;>

=item *

M<\mathrm{f}_2(z) = z^* + 4;>

=item *

M<\mathrm{f}_3(z) = z^* + 4\mathrm{i};>

=item *

M<\mathrm{f}_4(z) = -z^* + 4;>

=item *

M<\mathrm{f}_5(z) = \mathrm{i}z^* + 4 - 4\mathrm{i};>

=back

=over

=item a)

Bestimme und zeichne jeweils das Bild des Dreiecks M<z_1 = 3\mathrm{i}>, M<z_2
= -2 - 2\mathrm{i}>, M<z_3 = 2 - 2\mathrm{i}>.

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -3.000000 : 8.000000 ]
set yrange [ -7.000000 : 7.000000 ]
set grid
set xtics 4.000000
set ytics 4.000000

#conj(z) = real(z) -imag(z)*{0.,1.}
#f1(z)   = conj(z)
#f2(z)   = conj(z) + 4.
#f3(z)   = conj(z) + {0.,4.}
#f4(z)   = -conj(z) + 4
#f5(z)   = {0.,1.}*conj(z) + 4 - {0.,4.}

#Prelude Complex> map f1 p
#[0.0 :+ (-3.0),(-2.0) :+ 2.0,2.0 :+ 2.0]
#Prelude Complex> map f2 p
#[4.0 :+ (-3.0),2.0 :+ 2.0,6.0 :+ 2.0]
#Prelude Complex> map f3 p
#[0.0 :+ 1.0,(-2.0) :+ 6.0,2.0 :+ 6.0]
#Prelude Complex> map f4 p
#[4.0 :+ 3.0,6.0 :+ (-2.0),2.0 :+ (-2.0)]
#Prelude Complex> map f5 p
#[7.0 :+ (-4.0),2.0 :+ (-6.0),2.0 :+ (-2.0)]

plot \
  "<echo -e '0 3\\n-2 -2\\n2 -2\\n0 3'"  t "z"   w l, \
  "<echo -e '0 -3\\n-2 2\\n2 2\\n0 -3'"  t "f_1" w l, \
  "<echo -e '4 -3\\n2 2\\n6 2\\n4 -3'"   t "f_2" w l, \
  "<echo -e '0 1\\n-2 6\\n2 6\\n0 1'"    t "f_3" w l, \
  "<echo -e '4 3\\n6 -2\\n2 -2\\n4 3'"   t "f_4" w l, \
  "<echo -e '7 -4\\n2 -6\\n2 -2\\n7 -4'" t "f_5" w l, \
  -4 + x t "Fixgerade von f_5" w l

=hend

=item b)

Berechne, ob die Abbildungen Fixpunkte haben.

M<z_0 = x_0 + y_0\mathrm{i} \in \mathds{C}; \quad x_0, y_0 \in \mathds{R};>

=over

=item M<\mathrm{f}_1>

M<\mathrm{f}_1(z_0) = \mathrm{f}_1(x_0 + y_0\mathrm{i}) = x_0 - y_0\mathrm{i} =
x_0 + y_0\mathrm{i}; \Rightarrow -y_0 = y_0; \Rightarrow y_0 = 0;>

⇒ M<z_0 \in \mathds{R}> sind Fixpunkte.

=item M<\mathrm{f}_2>

M<\mathrm{f}_2(z_0) = \mathrm{f}_2(x_0 + y_0\mathrm{i}) = x_0 - y_0\mathrm{i}
+ 4 = x_0 + y_0\mathrm{i}; \Rightarrow y_0 = -2\mathrm{i};>

⇒ Es gibt keine Fixpunkte, da M<-2\mathrm{i} \notin \mathds{R}>.

=item M<\mathrm{f}_3>

M<\mathrm{f}_3(z_0) = \mathrm{f}_3(x_0 + y_0\mathrm{i}) = x_0 - y_0\mathrm{i} +
4\mathrm{i} = x_0 + y_0\mathrm{i}; \Rightarrow y_0 = 2;>

⇒ M<z_0 \in \left\{ z | z \in \mathds{C} \wedge \mathrm{Im}(z) = 2 \right\};>

=item M<\mathrm{f}_4>

M<\mathrm{f}_4(z_0) = \mathrm{f}_4(x_0 + y_0\mathrm{i}) = -x_0 + y_0\mathrm{i}
+ 4 = x_0 + y_0\mathrm{i}; \Rightarrow x_0 = 2;>

⇒ M<z_0 \in \left\{ z | z \in \mathds{C} \wedge \mathrm{Re}(z) = 2 \right\};>

=item M<\mathrm{f}_5>

M<\mathrm{f}_5(z_0) = \mathrm{f}_5(x_0 + y_0\mathrm{i}) = x_0\mathrm{i} + y_0 +
4 - 4\mathrm{i} = x_0 + y_0\mathrm{i}; \Rightarrow y_0 = -4 + x_0;>

⇒ M<z_0 \in \left\{ z | z \in \mathds{C} \wedge \mathrm{Im}(z) = -4 +
\mathrm{Re}(z) \right\};>

=back

=item c)

Wie lassen sich die Abbildungen geometrisch beschreiben?

=over

=item M<\mathrm{f}_1>

Spiegelung an der reellen Achse

=item M<\mathrm{f}_2>

Spiegelung an der reellen Achse und Translation um M<4> auf der reellen Achse

=item M<\mathrm{f}_3>

Spiegelung an der reellen Achse und Translation um M<4> auf der imaginären Achse
(auch: Achsenspiegelung an einer Parallelen der reellen Achse mit Imaginärteil
M<2>)

=item M<\mathrm{f}_4>

Spiegelung an der reellen Achse mit anschließender Punktspiegelung am Ursprung
und Translation um M<4> auf der reellen Achse

=item M<\mathrm{f}_5>

Spiegelung an der reellen Achse mit anschließender Drehung um M<\frac{\pi}{2}>
und Translation um M<4> auf der reellen und M<-4> auf der imaginären Achse

=back


=for timestamp
Mo Mai  9 17:16:33 CEST 2005

=item d)

Zeichne die Menge der Punkte M<z = x + 3\mathrm{i}> mit M<x \in \mathds{R}> und
bestimme jeweils die zugehörige Bildmenge.

Zusammenhang zwischen Original und Bild?

=over

=item M<\mathrm{f}_1>

M<\mathrm{f}_1(z) = x - 3\mathrm{i};> (Spiegelung an der reellen Achse)

=item M<\mathrm{f}_2>

M<\mathrm{f}_2(z) = x - 3\mathrm{i} + 4;> (Spiegelung an der reellen Achse)

=item M<\mathrm{f}_3>

M<\mathrm{f}_3(z) = x + \mathrm{i};> (Verschiebung um M<2> entgegen der
imaginären Achse oder Achsenspiegelung an einer um M<2> in imaginärer Richtung
verschobenen Parallelen zur reellen Achse)

=item M<\mathrm{f}_4>

M<\mathrm{f}_4(z) = -x + 3\mathrm{i} + 4;> (Identitätsabbildung)

=item M<\mathrm{f}_5>

M<\mathrm{f}_5(z) = ix + 4 - \mathrm{i};> (Drehung um M<90^\circ> um M<0> und
Verschiebung um M<4> auf der reellen Achse oder Drehung um M<4>)

=back

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -3.000000 : 3.000000 ]
set yrange [ -3.500000 : 3.500000 ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 1.000000

# Function definitions
func0(x) = 3.
func1(x) = -3.
func2(x) = -3.
func3(x) = 1.

# Plotting
plot func0(x) t "z" w l lt 1, func1(x) t "f_1(z)" w l lt 2, func2(x) t "f_2(z)" w l lt 3, func3(x) t "f_3(z)" w l lt 4

=hend

=back