=for timestamp
Di Dez  7 16:52:32 CET 2004

=head3 4. Hausaufgabe

Die Zahl M<-21 + 20\mathrm{i}> ist ein Quadrat einer komplexen Grundzahl M<x +
\mathrm{i}y>. Bestimme dieselbe! Ist die Lösung eindeutig?

=over

=item 1.

Herleiten einer allgemeinen Lösungsformel:

M<<
{} a,b, x,y \in \mathds{R}; z^2 = a + b\mathrm{i} \in \mathds{C}; \\
{} \begin{array}{rcl}
{}   z^2 &=& a + b\mathrm{i}; \\
{}   \left(x + \mathrm{i}y\right)^2 &=& a + b\mathrm{i}; \\
{}   x^2 + 2xy\mathrm{i} - y^2 &=& a + b\mathrm{i}; \\
{}   x^2 - y^2 + 2xy\mathrm{i} &=& a + b\mathrm{i}; \Rightarrow
{} \end{array}\\
{} \left.\begin{array}{l}
{}   x^2 - y^2 = a; \\
{}   2xy = b; \Rightarrow x = \frac{b}{2y};
{} \end{array}\right\}\Rightarrow
{} \begin{array}{rcl}
{}   \frac{b^2}{4y^2} - y^2 &=& a; \\
{}   b^2 - 4y^4 - 4ay^2 &=& 0; \\
{}   -4y^4 - 4ay^2 + b^2 &=& 0; \Rightarrow
{} \end{array}\\
{} \left.\begin{array}{l}
{}   -4y^4 - 4ay^2 + b^2 = 0; \\
{}   y^2 = u;
{} \end{array}\right\}\Rightarrow
{} -4u^2 - 4au + b^2 = 0; \Rightarrow \\
{} \begin{array}{rcl}
{}   u_{1, 2} &=& \frac{4a \pm \sqrt{16a^2 - 4 \cdot -4 \cdot b^2}}{-8} = \\
{}            &=& -\frac{4a \pm 4\sqrt{a^2 + b^2}}{8} = \\
{}            &=& -\frac{a \pm \sqrt{a^2 + b^2}}{2}; \Rightarrow
{} \end{array}\\
{} \left.\begin{array}{l}
{}   y_{1, 2, 3, 4} = \pm\sqrt{-\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2}}; \Rightarrow\\
{}   x_{1, 2, 3, 4} = \frac{b}{2y_{1, 2, 3, 4}};
{} \end{array}\right\}\Rightarrow
{} z = \frac{b}{2\cdot\pm\sqrt{-\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2}}} \pm\sqrt{-\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\mathrm{i};
>>

Diskriminante:

M<<
{} \begin{array}{rcl}
{}   D = -\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2} &E<gt>& 0; \\
{}   a\pm\sqrt{a^2+b^2} &E<lt>& 0;
{} \end{array}
>>

Neuschreiben der Lösung mit Hilfe der Diskriminante:

M<z = \frac{b}{2\cdot\pm\sqrt{D}} \pm\sqrt{D}\mathrm{i};>

=item 2.

Lösen der eigentlichen Aufgabe:

M<z^2 = -21 + 20\mathrm{i}; \Rightarrow (a, b) = (-21, 20);> ⇒

Betrachtung der Diskriminanten: M<-21 \pm 29 E<lt> 0;> ⇒ Wegfall der
"+"-Lösung, da M<-21 + 29 E<gt> 0;>

=over

=item *

M<z_1 = 2 + 5\mathrm{i};>

=item *

M<z_2 = -2 - 5\mathrm{i};>

=back

=item 3.

Probe

=back