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\title{Fraktale}
\author{Ingo Blechschmidt}
\date{11. Mai 2005}

\usetheme{Warsaw}
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\usefonttheme{professionalfonts}

\begin{document}

\frame{\titlepage}

\section{}
\frame[t]{
  \frametitle{Inhalt}
  \tableofcontents
}

\section{Was ist ein Fraktal?}
\frame[t]{
  \frametitle{Was ist ein Fraktal?}

  \begin{itemize}
    \item Bezeichnung für Gebilde mit einem hohen Grad von Skaleninvarianz
          bzw. Selbstähnlichkeit
  \end{itemize}

  \vfill
  \begin{block}{Skaleninvarianz}
    "`Vergrößerung oder Verkleinerung verändern nicht das Aussehen."'
  \end{block}

  \begin{block}{Selbstähnlichkeit}
    "`Bei Vergrößerung sieht man ähnliche Strukturen wie ohne Vergrößerung."'
  \end{block}
}

\section{Beispiele für Fraktale}
\subsection{KOCHsche Kurve}
\frame[t]{
  \frametitle{KOCHsche Kurve}

  \begin{block}{Allgemeines}
    \vspace*{2mm}
    \begin{itemize}
      \item Entdecker: Helge von Koch (1904)
      \item "`Monsterkurve"'
    \end{itemize}
  \end{block}

  \vfill\pause
  \begin{block}{Eigenschaften}
    \begin{itemize}
      \item Überall stetig, aber nirgends differenzierbar
      \item Unbegrenzte Länge
      \item Streng selbstähnlich
    \end{itemize}
  \end{block}
}

\subsection{KOCHsche Schneeflocke}
\frame[t]{
  \frametitle{KOCHsche Schneeflocke}

  \begin{itemize}
    \item Aneinandersetzung dreier KOCHscher Kurven: \\
	  KOCHsche Schneeflocke
    \item Unbegrenzter Umfang
    \item Endliche Fläche
  \end{itemize}
}

\subsection{SIERPINSKI-Teppich}
\frame[t]{
  \frametitle{SIERPINSKI-Teppich}

  \begin{itemize}
    \item Entdecker: Wacław Sierpiński
    \item Kein Flächeninhalt
  \end{itemize}
}

\subsection{MENGER-Schwamm}
\frame[t]{
  \frametitle{MENGER-Schwamm}

  \begin{itemize}
    \item Entdecker: Karl Menger (1927)
    \item Übertragung des SIERPINSKI-Teppichs auf einen Würfel
    \item Kein Volumen
    \item Unendliche Oberfläche
  \end{itemize}
}

\section{Apfelm"annchen}
\frame[t]{
  \frametitle{Apfelmännchen -- Mandelbrotmenge}

  \begin{itemize}
    \item Benoît B. Mandelbrot (1980)
    \item Selbstähnlich, aber nicht streng selbstähnlich 
    \item Unendlich viele Satelliten
  \end{itemize}
}

\subsection{Berechnung}
\frame[t]{
  \frametitle{Apfelmännchen -- Berechnung}

  \[ z_i, c \in \mathds{C}; \]
  \[
    \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
    \begin{array}{rcl}
      z_0 & = & 0; \\
      \pause
      z_1 & = & z_0^2 + c; \\
      z_2 & = & z_1^2 + c; \\
      z_3 & = & z_2^2 + c; \\
      \pause
      \vdots & \vdots & \vdots \\
      z_{n + 1} & = & z_n^2 + c;
    \end{array}
  \]
}

\section{Quellen}
\frame[t]{
  \frametitle{Quellen}

  \begin{itemize}
    \item \url{http://de.wikipedia.org/wiki/Fraktal}
    \item \url{http://de.wikipedia.org/wiki/Koch-Kurve}
    \item \url{http://de.wikipedia.org/wiki/Sierpinski-Teppich}
    \item \url{http://de.wikipedia.org/wiki/Menger-Schwamm}
    \item \url{http://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge}
    \item \url{http://en.wikipedia.org/wiki/Buddhabrot}
    \item \url{http://cs.marlboro.edu/code/perl/fractals/}
  \end{itemize}
}

\end{document}
