=for timestamp
Mi Jan 12 16:55:29 CET 2005

=for comment
Schon gestern

=head3 Anschauliche Deutung der komplexen Zahlen

=over

=item *

GAUßsche Zahlenebene

=item *

komplexe Zahlen als Vektoren

Pfeile, die vom Ursprung ausgehen, heißen Ortsvektoren.

=back


=for timestamp
Mi Jan 12 17:59:37 CET 2005

=for comment
Wirklich heute

=head4 Betrag komplexer Zahlen

M<\left|z\right| = \left|x + \mathrm{i}y\right| = \sqrt{x^2 + y^2};>

Abstand zweier Punkte: M<\left|\vec{d}\right| = \left|\vec{z_2} - \vec{z_1}\right|;>


=for timestamp
Mi Jan 19 17:23:55 CET 2005

Dreiecksungleichung: M<\left|z_1 + z_2\right| \leq \left|z_1\right| +
\left|z_2\right|;>


=for timestamp
Mi Jan 26 16:04:36 CET 2005

=for comment
Schon gestern

=head4 Polarform komplexer Zahlen

M<z = x + \mathrm{i}y;> (Normalform)

M<z> wird festgelegt durch

=over

=item *

Abstand vom Ursprung M<\left|z\right| = r;>

=item *

Winkel M<\varphi> zwischen Re-Achse und Vektor M<z> (gemessen im Bogenmaß)

=back

Zusammenhänge mit der Normalform:

=over

=item *

M<r = \left|z\right| = \sqrt{x^2 + y^2};>

=item *

M<\tan \varphi = \frac{y}{x};>

=back

Polarkoordinaten: M<z = (r; \varphi);>

=over

=item *

M<x = r \cdot \cos \varphi;>

=item *

M<y = r \cdot \sin \varphi;>

=back

Darstellung: M<z = x + \mathrm{i}y = r \cdot \left(\cos\varphi +
\mathrm{i}\cdot\sin\varphi\right);> (Polarform von M<z>!)

Abkürzung: M<E(\varphi) = \cos\varphi + \mathrm{i}\cdot\sin\varphi;>

M<\left|E(\varphi)\right| = \sqrt{\cos^2\varphi + \sin^2\varphi} = \sqrt{1} =
1;>

⇒ Die komplexen Zahlen M<E(\varphi)> liegen auf dem I<Einheitskreis>.

M<z = r \cdot E(\varphi);>


=for timestamp
Mi Jan 26 16:10:06 CET 2005

=for comment
Heute

Eigenschaften von M<E(\varphi)>:

=over

=item *

M<\left|E(\varphi)\right| = 1;>

=item *

M<\left|E(\varphi)\right|> ist periodisch.

M<E(\varphi + 2k\pi) = E(\varphi); \quad k \in \mathds{Z};>


=for timestamp
Di Feb  1 16:19:17 CET 2005

=item *

M<E(\varphi_1) \cdot E(\varphi_2) = \ldots = E(\varphi_1 + \varphi_2);>

=back


Folgerungen:

Für M<\varphi_2 = -\varphi_1 = -\varphi;> ⇒ M<E(\varphi) \cdot E(-\varphi) =
E(0) = 1;> ⇒ M<E(-\varphi) = \frac{1}{E(\varphi)};>

Für M<\varphi_1 = \varphi_2 = \varphi;> ⇒ M<\left[E(\varphi)\right]^2 =
E(2\varphi);>

M<\left[E(\varphi)\right]^n = E(n \cdot \varphi); \quad \text{f"ur } n \in
\mathds{N}; \varphi \in \mathds{R};> (Formel von MOIVRE)


=for timestamp
Do Feb  3 17:19:01 CET 2005

=for comment
Schon am Mi.

Produkte in Polarform:

M<z_1 = \left|z_1\right| E(\varphi_1);\\>
M<z_2 = \left|z_2\right| E(\varphi_2);>

M<z_1 z_2 = \left|z_1 z_2\right| E(\varphi_1 + \varphi_2);>

M<\left|z_1\right| \cdot \left|z_2\right| = \left|z_1 \cdot z_2\right|;>

Regel: Multiplikation zweier komplexer Zahlen bedeutet Multiplikation der
Beträge und Addition der Winkelargumente.


=for timestamp
Di Feb 15 16:24:07 CET 2005

Division in Polarform:

M<\frac{z_1}{z_2} = \frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|} E(\varphi_1 -
\varphi_2);>

Regel: Division zweier komplexer Zahlen bedeutet Division der Beträge und
Subtraktion der Winkelargumente.


=for timestamp
Mi Feb 16 17:25:25 CET 2005


Anwendungen:

=over

=item a) M<\cos 15^\circ> und M<\sin 15^\circ> in exakter Form:

Ansatz: M<15^\circ = 45^\circ - 30^\circ;>

M<E(15^\circ) = \cos 15^\circ + \mathrm{i}\sin 15^\circ = E(45^\circ -
30^\circ) = \frac{E(45^\circ)}{E(30^\circ)} = \ldots =
\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + \mathrm{i}\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};>

⇒ M<\cos 15^\circ = \mathrm{Re}\!\left[E(15^\circ)\right]; \quad \sin 15^\circ
= \mathrm{Im}\!\left[E(15^\circ)\right];>

=item b) Trigonometrische Formeln:

M<\cos 2\varphi + \mathrm{i}\sin 2\varphi = E(2\varphi) =
\left[E(\varphi)\right]^2 = \left[\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi\right]^2
= \cos^2\varphi - \sin^2\varphi + 2\mathrm{i}\cos\varphi\sin\varphi;>

⇒ M<\cos 2\varphi = cos^2\varphi - \sin^2\varphi; \quad \sin 2\varphi =
2\cos\varphi\sin\varphi;>

=back


=for timestamp
Mi Feb 23 17:10:16 CET 2005

M<\frac{z_1}{z_2} = \frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|} \cdot E(\varphi_1
- \varphi_2);>

I<Def.>: Der Winkel M<\varepsilon = \angle(z_1, z_2)> ist der Winkel, um den
man M<z_1> (im positiven Drehsinn) drehen muss, damit M<z_1> in Richtung von
M<z_2> weist.

[Falls M<\varphi_1 - \varphi_2 E<lt> 0> ist, ist M<\varepsilon = \varphi_1 -
\varphi_2 + 360^\circ>.]


=for timestamp
Di Mär  1 16:15:07 CET 2005

M<\angle(z_2, z_1) = \mathrm{arc} \frac{z_1}{z_2};> ("Winkel, um den man M<z_2>
drehen muss, damit M<z_2> in Richtung von M<z_1> zeigt")

(Addiere evtl. zum Taschenrechnerwert des Arcustangens M<0^\circ> im I.
Quadranten, M<180^\circ> im II. und III. Quadranten und M<360^\circ> im IV.
Quadranten.)


=head4 Anwendung der Formel von Moivre

M<\left[E(\varphi)\right]^n = E(n \cdot \varphi);>


=for timestamp
Di Mär  8 15:47:32 CET 2005

Lösungen der Gleichung M<z^n = 1;> ("Einheitswurzeln")

M<n = 3>: M<z^3 = 1 = 1 \cdot E(0^\circ); \Rightarrow z_1 = 1; \quad z_2 =
E(120^\circ); \quad z_3 = E(240^\circ);>


=for timestamp
Mi Mär  9 15:48:19 CET 2005

Zur Gleichung M<z^n = 1>:

M<L_\varphi = \left\{ 0, \frac{1}{n}2\pi, \frac{2}{n}2\pi, ...,
\frac{n-1}{n}2\pi \right\};>

d.h. M<z_k = E(\frac{k-1}{n}2\pi); \quad k \in \mathds{N} \cap \left[1, n\right];>

Allgemein: M<z^n = E(\varphi); \Rightarrow z_k = E(\dfrac{\varphi +
\left(k-1\right) \cdot 360^\circ}{n}); \quad k \in \mathds{N} \cap \left[1,
n\right];>


=for timestamp
Mi Mär 16 15:47:01 CET 2005

Die Gleichung M<z^n = a; \quad a \in \mathds{C};>

M<z^n = a; \Leftrightarrow \left|z\right|^n E(n\varphi) = \left|a\right|
E(\alpha);>

⇒ M<\left|z\right| = \sqrt[n]{\left|a\right|}; \wedge E(n\varphi) = E(\alpha);>

D.h. M<n\varphi = \alpha + k \cdot 360^\circ; \quad k \in \mathds{N} \cap
\left[0, n-1\right];>

M<\varphi_n = \frac{\alpha}{n} + \frac{n-1}{n} \cdot 360^\circ;>

⇒ M<z_k = \sqrt[n]{\left|a\right|} E(\frac{\alpha}{n} + \frac{k}{n} \cdot
360^\circ); \quad k \in \mathds{N} \cap \left[0, n-1\right];>

Alle Lösungen haben gleichen Betrag und liegen auf einem Kreis um den Ursprung
mit Radius M<\sqrt[n]{\left|a\right|}>.