=for timestamp
Di Nov 23 16:56:31 CET 2004

=head3 Die Erweiterung der reellen Zahlen

=head4 Mangel von M<\mathds{R}>

M<7x + 3 = 0; \Rightarrow x = -\frac{3}{7};> ⇒ Einführung der Bruchzahlen

M<x^2 = -1> hat keine Lösung in M<\mathds{R}>.

=head4 Versuchsweise Einführung von Lösungen:

Neue Zahl M<\mathrm{i}> mit der Eigenschaft

=over

M<\mathrm{i}^2 = -1;>

=back


=for timestamp
Di Nov 30 17:20:50 CET 2004

Zahlen der Form M<z = a + \mathrm{i}b> mit M<a, b \in \mathds{R}> heißen
I<komplex>.

BTW, I<Wichtig>: Schreibe nie, I<niemals>, M<\mathrm{i} = \sqrt{-1}>!

M<a> (M<b>) heißt Realteil (Imaginärteil) von M<z> (M<\mathrm{Re}(z)>
(M<\mathrm{Im}(z)>)).

Die Zahlen M<z> bilden die Menge M<\mathds{C}> der komplexen Zahlen.

Summe komplexer Zahlen: M<z_1 + z_2 = a_1 + \mathrm{i}b_1 + a_2 + \mathrm{i}b_2
= \left(a_1 + a_2\right) + \mathrm{i}\left(b_1 + b_2\right);>


=for timestamp
Mi Dez  1 16:42:51 CET 2004

Produkt komplexer Zahlen: M<z_1 \cdot z_2 = \left(a_1 + \mathrm{i}b_1\right)
\left(a_2 + \mathrm{i}b_2\right) = \left(a_1a_2 - b_1b_2\right) +
\mathrm{i}\left(a_1b_2 + a_2b_2\right);>

Kehrwerte: M<\frac{1}{z} = \frac{1}{a + \mathrm{i}b} = \frac{1}{a+\mathrm{i}b}
\cdot \frac{a-\mathrm{i}b}{a-\mathrm{i}b} = \frac{a-\mathrm{i}b}{a^2+b^2} =
\frac{a}{a^2+b^2} + \mathrm{i}\frac{-b}{a^2+b^2};>

Bemerkung: Die beiden komplexen Zahlen M<z = a + \mathrm{i}b> und M<z^* = a -
\mathrm{i}b> heißen zueinander I<konjugiert komplex>.


=head4 Kritik des Varfahrens

Z.B.: In M<\mathds{R}> gibt es kein Inverses zu M<0> bezüglich der
Multiplikation.

Definiere M<\mathrm{j} = 0^{-1}; \Rightarrow 0 \cdot \mathrm{j} = 1;>

Dann gilt:

=over

=item *

M<\left(0 + 0\right) \cdot \mathrm{j} = 0\cdot\mathrm{j} + 0\cdot\mathrm{j} = 1 + 1 = 2;>

=item *

M<\left(0 + 0\right) \cdot \mathrm{j} = 0 \cdot \mathrm{j} = 1;>

=back

⇒ WIDERSPRUCH!

"Wurzelziehen": Siehe 4. Hausaufgabe.


=for timestamp
Di Dez 14 17:02:31 CET 2004

=head4 Eigenschaften des Konjugierens

M<z = x + \mathrm{i}y; \Rightarrow z^* = x - \mathrm{i}y;>

=over

=item 1.

M<\left(z^*\right)^* = z;>

=item 2.

M<\left(z_1 \pm z_2\right)^* = z_1^* \pm z_2^*;>

=item 3.

M<\left(z_1 \cdot z_2\right) = z_1^* \cdot z_2^*;>

Entsprechend gilt: M<\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^* = \frac{z_1^*}{z_2^*}
\text{ f"ur } z_2 \neq 0;>

=back