=for timestamp
Di Apr  5 15:00:31 CEST 2005

=head3 Komplexe Abbildungen

=head4 Einfache komplexe Abbildungen

In M<\mathds{R}>: M<x \mapsto y = 2x;>

In M<\mathds{C}>: M<z \mapsto w = 2z;>

=head3 Allgemein: Die Abbildung M<z \mapsto w = az; \quad a \in \mathds{C};>

Polarform:

M<a = \left|a\right| E(\alpha); \\>
M<z = \left|z\right| E(\varphi);>

M<w = az = \left|a\right| E(\alpha) \cdot \left|z\right| E(\varphi) =
\left|a\right|\left|z\right| E(\alpha + \varphi);>

Ergebnis: Die Abbildung M<z \mapsto w = az> (M<a \neq 0>) ist eine zentrische
Streckung mit anschließender Drehung (Drehstreckung). Das Zentrum ist M<0>,
Streckungsfaktor ist M<\left|a\right|>, Drehwinkel ist M<\mathrm{arc}\, a>.

Spezielle Fälle:

=over

=item *

M<\left|a\right| = 1;> (Reine Drehung um M<\mathrm{arc}\, a>)

=item *

M<a \in \mathds{R};> (Reine zentrische Steckung (mit positivem Faktor;
Drehwinkel M<0^\circ> oder M<180^\circ>)

=back


=for timestamp
Mi Apr 13 16:05:40 CEST 2005

=for comment
Nix. Ok, wir ham' nen bissl rumgerechnet (die 67/2ab), aber sonst nix. Aja
Fixpunkte noch besprochen, kurz. :) Siehe auch Haskell Fixpoint-Programming,
aber das versteh' ich noch nicht =)


=for timestamp
Di Apr 19 18:32:07 CEST 2005

=for comment
Nix. Ok, Überschrift: "Eine 2-fache Abbildung" und dann Übungsaufgabe.


=for timestamp
Mi Apr 20 17:22:27 CEST 2005

=head4 Eigenschaften der linearen Abbildung M<z \mapsto w = az + b; \quad a \neq 0;>

Jede Abbildung der Form M<z \mapsto w = az + b> kann aufgefasst werden als
Hintereinanderschaltung zweier Abbildungen M<\mathrm{f}> und M<\mathrm{g}>:

Dabei ist M<\mathrm{f}: z \mapsto v = az> eine Drehstreckung um den Ursprung
mit Streckungsfaktor M<\left|a\right|> und Drehwinkel M<\mathrm{arc}\, a> und
M<\mathrm{g}: v \mapsto w = v + b> eine Translation um den komplexen Vektor
M<b>.

Schreibweise: M<w = \mathrm{g}(v) = \mathrm{g}(\mathrm{f}(z)) =
\mathrm{g}\circ\mathrm{f}(z); \quad> ("M<\mathrm{g}> nach M<\mathrm{f}>")

Damit ist jede Abbildung der Form M<w = az + b> eine Ähnlichkeitsabbildung. Sie
verändert nicht den Drehsinn (gleichsinnige Ähnlichkeitsabbildung).

Für M<\left|a\right| = 1> handelt es sich um eine gleichsinnige
Kongruenzabbildung.


=for timestamp
Di Jun  7 16:07:38 CEST 2005

=head4 Noch eine konjugiert lineare Abbildung

M<z \mapsto w = \mathrm{i}z^* + \left(-2 + 2\mathrm{i}\right);>

M<\left(x + y\mathrm{i}\right) = \mathrm{i}\left(x - y\mathrm{i}\right) +
\left(-2 + 2\mathrm{i}\right); \Rightarrow x - y + 2 = \mathrm{i}\left(x - y +
2\right);>

Nur erfüllt für M<x - y + 2 = 0; \Rightarrow y = x + 2;> (Fixpunktgerade!)

=over

=item *

Was passiert mit der Geraden M<\mathrm{g}: y = x>?

M<\mathrm{g}: z = x + \mathrm{i}x;>

M<\mathrm{g}': w = \mathrm{i}z^* - 2 + 2\mathrm{i} = \mathrm{i}\left(x -
x\mathrm{i}\right) - 2 + 2\mathrm{i} = \mathrm{i}x + x - 2 + 2\mathrm{i} = x -
2 + \mathrm{i}\left(x + 2\right) = u + \mathrm{i}\left(u + 4\right);>

=item *

Was passiert mit der Geraden M<\mathrm{h}: y = -x>?

M<\mathrm{h}: z = x - \mathrm{i}x;>

M<\mathrm{h}': w = \mathrm{i}z^* - 2 + 2\mathrm{i} = \mathrm{i}\left(x +
\mathrm{i}x\right) - 2 + 2\mathrm{i} = \mathrm{i}x - x - 2 + 2\mathrm{i} = -x -
2 + \mathrm{i}\left(x + 2\right) = -\left(x + 2\right) + \mathrm{i}\left(x +
2\right) = -u + \mathrm{i}u = v - \mathrm{i}v;>

=back


=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -5.000000 : 2.000000 ]
set yrange [ -2.000000 : 4.9      ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 1.000000

# Function definitions
func0(x) = x + 2.
func1(x) = x
func2(x) = x + 4.
func3(x) = -x
func4(x) = -x

# Plotting
plot func0(x) t "Fixpunktgerade" w l lt 1, func1(x) t "g: z = x + ix" w l lt 2, func2(x) t "g': w = u + i(u + 4)" w l lt 3, func3(x) t "h: z = x - ix" w l lt 4, func4(x) t "h': w = v - iv" w l lt 5

=hend


=for timestamp
Mi Jun  8 16:26:07 CEST 2005

Die Gerade wird insgesamt auf sich abgebildet (nicht punktweise), man spricht
von einer Fixgeraden.

=head4 Geraden in der komplexen Zahlenebene

M<x, y, a, m \in \mathds{R};>

M<\mathrm{Re}>-Achse: M<y = 0; \Rightarrow z = x;>

M<\mathrm{Im}>-Achse: M<x = 0; \Rightarrow z = \mathrm{i}y;>

Parallele zur M<\mathrm{Re}>-Achse durch M<(0, a)>: M<y = a; \Rightarrow z = x
+ \mathrm{i}a;>

Parallele zur M<\mathrm{Im}>-Achse durch M<(a, 0)>: M<x = a; \Rightarrow z = a
+ \mathrm{i}y;>

Parallele zu M<y = x> durch M<(0, a)>: M<y = x + a; \Rightarrow z = x +
\mathrm{i}\left(x + a\right);>

Allgemein: M<y = mx + a; \Rightarrow z = x + \mathrm{i}\left(mx + a\right);>


=for timestamp
Di Jun 28 18:11:40 CEST 2005

=head4 Kreisgleichung

=over

=item Mittelpunkt M<M(0, 0)>

M<\left|z\right| = r; \Rightarrow x^2 + y^2 = r^2;>

M<\left|z\right|^2 = zz^* = r^2;> (Betragsfreie Darstellung)

=item Mittelpunkt M<M(m_x, m_y)>, d.h. M<m = m_x + \mathrm{i}m_y>

M<\left|z - m\right| = r; \\>
M<\left(z - m\right)\left(z - m\right)^* = r^2; \\>
M<\left(z - m\right)\left(z^* - m^*\right) = r^2; \\>
M<zz^* - m^*z - mz^* + mm^* = r^2; \\>
⇒ M<zz^* - m^*z - mz^* = r^2 - mm^* = \gamma; \quad \gamma \in \mathds{R}; \\>

Kreisgleichung: M<zz^* - m^*z - mz^* = \gamma> mit M<\gamma = r^2 - mm^*;>

=back