=for timestamp
Di Nov  9 16:15:02 CET 2004

=head1 Mathematik: Komplexe Zahlen

=head2 Schulheft

=head3 Regeln für Zahlenbereichserweiterungen

Die alten Rechengesetze sollen weiter (und auch für die "neuen" Zahlen) gelten
(I<Permanenzprinzip>).

Zahlenmengen: M<\mathds{N}>, M<\mathds{Z}>, M<\mathds{Q}>, M<\mathds{R}>
(algebraische Zahlen (Menge der Nullstellen aller Polynomfunktionen) und
transzendente Zahlen (z.B. M<\pi>, M<\lg 2>, M<\sin 31^\circ>))

=head3 Rechengesetze

=over

=item Kommutativgesetze

M<<
{} a+b = b + a; \\
{} a \cdot b = b \cdot a;
>>

=item Assoziativgesetze

M<<
{} \left(a + b\right) + c = a + \left(b + c\right) = a + b + c; \\
{} \left(a \cdot b\right) \cdot c = a \cdot \left(b \cdot c\right) = a \cdot b \cdot c;
>>

=item Distributivgesetz

M<<
{} a \cdot \left(b + c\right) = ab + ac;
>>

=back


=for timestamp
Mi Nov 10 16:01:24 CET 2004

Weitere Eigenschaften der reelen Zahlen:

=over

=item *

K-, A-, D-Gesetze

=item *

I<Abgeschlossenheit> der Rechenoperatinen: Für zwei Zahlen M<a, b \in
\mathds{M}> gilt:

M<<
a +     b \in \mathds{M}; \\
a \cdot b \in \mathds{M};
>>

=item *

I<Eindeutigkeit> der Rechenoperationen, d.h. das Ergebnis von M<a+b> ist
M<a\cdot{}b> ist eindeutig.

=item *

I<Existenz> des neutralen Elements in M<\mathds{M}>:

M<a + 0 = a> ("Nullelement");

M<a \cdot 1 = a> ("Einselement");

=item *

Existenz der I<inversen> Elemente:

Zu jedem M<a \in \mathds{M}> existiert ein Inverses M<\overline{a}>, so dass
M<a + \overline{a} = 0;>

Zu jedem M<a \in \mathds{M} \setminus \left\{ 0 \right\}> existiert ein
Inverses M<\frac{1}{a}>, sodass M<a \cdot \frac{1}{a} = 1;>

=back

Erfüllen alle Elemente von M<\mathds{M}> alle die Eigenschaften, so nennt man
M<\mathds{M}> "Körper" (Bsps.: M<\mathds{Q}>, M<\mathds{R}>).


Beispiel: Restklassenkörper modulo 5 (siehe Buch Seite 15), Restklassen modulo
6

Die Restklassen modulo einer Primzahl liefern immer einen Körper. Die
Restklassenkörper sind Beispiele für I<endliche> Körper.



=for timestamp
Di Nov 23 16:52:27 CET 2004

Eigenschaften von Mengen, die sich anordnen lassen:

=over

=item *

Trichotomie:

Für zwei Elemente M<a, b> gilt genau eines von den drei Möglichkeiten M<a E<gt>
b>, M<a E<lt> b>, M<a = b>.

=item *

Transitivität:

M<<
{} \left.\begin{array}{l}
{}   a E<gt> b; \\
{}   b E<gt> c;
{} \end{array}\right\} \Rightarrow
{} a E<gt> c;
>>

=item *

Monotonie: M<a, b, c \in \mathds{R};>

=over

=item *

M<a E<lt> b; \Rightarrow a + c E<gt> b + c;>

=item *

M<a E<lt> b; \Rightarrow a \cdot c E<gt> b \cdot c; c E<gt> 0;>

=back

=back

Die endlichen Körper lassen sich nicht anordnen.