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Do Nov 18 19:49:22 CET 2004

=head3 15. Hausaufgabe

=head4 Buch Seite 39, Aufgabe 5

Um die Tiefe eines Brunnenschachtes zu bestimmen, lässt jemand einen Stein in
den Schacht fallen und stoppt die Zeit, bis er den Aufprall hört. Berechnen Sie
die Tiefe des Schachtes, wenn die gestoppte Zeit M<t = 4,\!80\mathrm{s}>
beträgt und

=over

=item a)

die Zeit für den Schall vernachlässigt wird.

M<x_a = \frac{1}{2} g t^2 = -\frac{1}{2} 9,\!81 \left(4,\!80\right)^2
\mathrm{m} = 113\mathrm{m};>

=item b)

die Schallgeschwindigkeit von M<v_{schall} = 330\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}>
berücksichtigt wird.

M<<
{} \left.\begin{array}{l}
{}   x        = \frac{1}{2} g t_{real}^2; \\
{}   t_{real} = t - \frac{x}{v};
{} \end{array} \right\} \Longrightarrow
{} x = \frac{1}{2}g \left(t^2 - 2t\frac{x}{v} + \frac{x^2}{v^2}\right); \\
{} \Longrightarrow 0 = x^2 \cdot \frac{g}{2v^2} + x \cdot \left(-1 - \frac{gt}{v}\right) + \frac{1}{2}gt^2; \\
{} \Longrightarrow x = \frac{1 + \frac{gt}{v} \pm \sqrt{1 + 2\frac{gt}{v} + \frac{g^2t^2}{v^2} - 4 \cdot \frac{g}{2v^2} \cdot \frac{1}{2}gt^2}}{2 \frac{g}{2v^2}} =
{}   \frac{1 + g\frac{t}{v} \pm \sqrt{1 + 2g\frac{t}{v}}}{\frac{g}{v^2}}; \\
{} \Longrightarrow x_1 = 25,\!3 \mathrm{km}; x_2 = 99,\!0 \mathrm{m};
>>

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