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So Jun 12 14:50:25 CEST 2005

=head3 50. Hausaufgabe

=head4 Buch Seite 125, Aufgabe 1

Ein Körper der Masse M<m = 50\mathrm{g}> schwingt harmonisch. In M<8T =
10\mathrm{s}> vollendet er M<8> Schwingungen. Die Zeitrechnung möge beginnen,
wenn er die Nullage in Richtung der positiven M<y>-Achse passiert. Der Abstand
der Umkehrpunkte beträgt M<2A = 18\mathrm{cm}>.

=over

=item a)

An welcher Stelle befindet sich der Körper nach M<8,\!0\mathrm{s}>?

M<y(8,\!0\mathrm{s}) = A \sin\!\left(\dfrac{2\pi}{T} 8,\!0\mathrm{s}\right) = 5\mathrm{cm};>

=item b)

Wie groß sind Geschwindigkeit und Beschleunigung nach M<8,\!0\mathrm{s}>? Geben
Sie auch die Richtung dieser vektorellien Größen bezüglich der M<y>-Achse an.

M<v(8,\!0\mathrm{s}) = A \dfrac{2\pi}{T} \cos\!\left(\dfrac{2\pi}{T}
8,\!0\mathrm{s}\right) = -0,\!4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};>

M<a(8,\!0\mathrm{s}) = -A \cdot \left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2
\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{T} 8,\!0\mathrm{s}\right) =
-1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};>

=item c)

Berechnen Sie die Maxima der Beträge von Geschwindigkeit und Beschleunigung.

M<\left|v_{\mathrm{max}}\right| = v(0) = A \dfrac{2\pi}{T} \cos 0 = A
\dfrac{2\pi}{T} = 0,\!5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};>

M<\left|a_{\mathrm{max}}\right| = \left|a\!\left(\dfrac{T}{4}\right)\right| = -A
\cdot \left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2 \sin \frac{\pi}{2} =
2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};>

=item d)

Wann besitzt der Körper maximale Geschwindigkeits- bzw. Beschleunigungsbeträge?

M<t_{\mathrm{max. Geschw.}} = \dfrac{T}{2} k; \quad k \in \mathds{N}_0;>

M<t_{\mathrm{max. Beschl.}} = \dfrac{T}{4} \left(2k + 1\right); \quad k \in \mathds{N}_0;>

=item e)

Wie groß ist die Rückstellkraft nach M<8,\!0\mathrm{s}>?

M<F(8,\!0\mathrm{s}) = ma(8,\!0\mathrm{s}) = -0,\!07\mathrm{N};>

=item f)

Zu welchen Zeitpunkten ist der Betrag der Rückstellkraft maximal?

M<t_{\mathrm{max. R"uckstellkraft.}} = \dfrac{T}{4} \left(2k + 1\right); \quad k \in \mathds{N}_0;>

=item g)

Berechen Sie den Betrag der maximalen Rückstellkraft.

M<\left|F_{\mathrm{max}}\right| = m \left|a\!\left(\dfrac{T}{4}\right)\right| =
0,\!1\mathrm{N};>

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