=for timestamp
Mo Apr  4 17:04:32 CEST 2005

=head3 Beschreibung des Sonnensystems

=head4 Ptolemäus (ca. 90-160 n.Chr.): "Almagest"

Geozentrisches Weltbild

=head4 Kopernikus (1473-1543)

=over

=item 1.

Sonne steht im Mittelpunkt, ruht.

=item 2.

Fixsterne sind auf einer kugelförmigen, unermesslich großen, Sphäre angebracht,
unbeweglich.

=item 3.

Planeten und Erde auf Kreisbahnen um die Sonne

=back

[Galilei 1564-1642]

=head4 Johannes Kepler (1571-1630)

(Die ersten zwei Gesetze schon 1609, das dritte Gesetz erst 1619.)

=over

=item 1.

Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

=item 2.

Der von der Sonne zum Planeten gezogene Fahrstrahl überstreicht in gleichen
Zeiten gleiche Flächen (Flächensatz).


=for timestamp
Di Apr  5 14:52:14 CEST 2005

=item 3.

Die Quadrate der Umlaufzeiten M<T> zweier Planeten verhalten sich wie die
dritten Potenzen der großen Halbachsen M<a> ihrer Bahnellipsen.

M<\dfrac{T_1^2}{T_2^2} = \dfrac{a_1^3}{a_2^3}; \Rightarrow \dfrac{T_1^2}{a_1^3}
= \dfrac{T_2^2}{a_2^3} = C_\odot;>

=back

Mittlere Entfernung Erde-Sonne: M<1\mathrm{AE} = 1,\!496 \cdot
10^{11}\mathrm{m} \approx 150 \cdot 10^6\mathrm{km};\\>


=for timestamp
Do Apr  7 17:57:36 CEST 2005

=head4 Satelliten der Erde

=over

=item In M<1000\mathrm{km}> Höhe

Monddaten: M<r_{\mathrm{Mond}} = 60,\!3R_{\mathrm{Erde}}; \quad
T_{\mathrm{Mond}} = 7,\!48 \cdot 10^{-2}\mathrm{a}; \quad r_{\mathrm{Sat}} =
7370\mathrm{km};>

M<\dfrac{T_{\mathrm{Mond}}^2}{T_{\mathrm{Sat}}^2} =
\dfrac{a_{\mathrm{Mond}}^3}{a_{\mathrm{Sat}}^3}; \Rightarrow T_{\mathrm{Sat}} =
\sqrt{T_{\mathrm{Mond}}^2 \cdot
\dfrac{a_{\mathrm{Sat}}^3}{a_{\mathrm{Mond}}^3}} = 1,\!74\mathrm{h};>

Geschwindigkeit: M<v_{\mathrm{Sat}} = 2\pi \cdot
\frac{r_{\mathrm{Sat}}}{T_{\mathrm{Sat}}} = 26613\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}
= 266 \cdot 10^2 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}};>


=for comment
Rest war HA

=item Höhe eines Synchronsatelliten

M<T_{\mathrm{Sat}} = T_{\mathrm{Erde}};>

M<\dfrac{T_{\mathrm{Mond}}^2}{T_{\mathrm{Sat}}^2} =
\dfrac{a_{\mathrm{Mond}}^3}{a_{\mathrm{Sat}}^3}; \Rightarrow a_{\mathrm{Sat}}
= \sqrt[3]{a_{\mathrm{Mond}}^3 \cdot
\dfrac{T_{\mathrm{Sat}}^2}{T_{\mathrm{Mond}}^2}} = 42344\mathrm{km} = 423 \cdot
10^2\mathrm{km};>

=item Umlaufdauer in Erdnähe (M<a_{\mathrm{Sat}} \approx R_{\mathrm{Erde}}>)

M<\dfrac{T_{\mathrm{Mond}}^2}{T_{\mathrm{Sat}}^2} =
\dfrac{a_{\mathrm{Mond}}^3}{a_{\mathrm{Sat}}^3}; \Rightarrow T_{\mathrm{Sat}} =
\sqrt{T_{\mathrm{Mond}}^2 \cdot
\dfrac{a_{\mathrm{Sat}}^3}{a_{\mathrm{Mond}}^3}} = 84,\!0\mathrm{min};>

Geschwindigkeit: M<v_{\mathrm{Sat}} = 2\pi \cdot
\frac{r_{\mathrm{Sat}}}{T_{\mathrm{Sat}}} =
7,\!94\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}};> ("Erste kosmische Geschwindigkeit")

=back


=for timestamp
Mo Apr 11 18:16:22 CEST 2005

=head4 Das Gravitationsgesetz von NEWTON

Mondbewegung: Kreisbahn um Erdmittelpunkt, dazu ist eine Zentripetalkraft nötig

Zugehörige Zentripetalbeschleunigung:
M<\\a_{\mathrm{r}} = \omega^2 r = \dfrac{4\pi^2}{T_{\mathrm{Mond}}^2} r =
2,\!72 \cdot 10^{-3} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};>

Vergleich mit der Fallbeschleunigung auf der Erde:

M<\dfrac{g}{a_{\mathrm{r}}} = \dfrac{3600}{1} =
\dfrac{r_{\mathrm{Mond}}^2}{R_{\mathrm{Erde}}^2};>

D.h., bei 60-facher Entfernung vom Erdmittelpunkt ist die Beschleunigung nur
noch der 60²-te Teil.

⇒ M<a_{\mathrm{r}} \sim \dfrac{1}{r^2}; \Rightarrow F_{\mathrm{r}} \sim \dfrac{m}{r^2};>


=for timestamp
Di Apr 12 17:25:15 CEST 2005

Zweiter Teil: Auch für Planetenbahn: Zentripetalkraft nötig

M<F_{\mathrm{r}} = m \omega^2 r = \dfrac{4 \pi^2}{T^2} \cdot mr;>

Nach KEPLER: M<\dfrac{T^2}{r^3} = C_\odot;> ⇒ M<T^2 = r^3 \cdot C_\odot;>

⇒ M<F_{\mathrm{r}} = \dfrac{4\pi^2}{r^3 \cdot C_\odot} \cdot mr =
\dfrac{4\pi^2}{C_\odot} \dfrac{m}{r^2};>

Also auch hier: M<F_{\mathrm{r}} \sim \frac{m}{r^2};>

Folgerung: Alle Körper ziehen sich gegenseitig an. ⇒ Kraft ist proportional zu
den I<Massen>!

M<F_{\mathrm{r}} = \dfrac{4\pi^2}{C_\odot} \dfrac{m}{r^2} = \dfrac{4
\pi^2}{C_\odot \cdot M_\odot} \dfrac{m \cdot M_\odot}{r^2};>

=for latex
\vspace{5mm}\hrule{}

=for xhtml
<div style="font-size: 200%;">

⇒ M<F = G \cdot \dfrac{m \cdot M}{r^2};>N<mit M<G = \dfrac{4 \pi^2}{C_\odot
\cdot M_\odot}>, wobei M<C_\odot> den Faktor M<\frac{1}{M_\odot}> enthält.>
(1688, NEWTON)

=for xhtml
</div>

=for latex
\vspace{2mm}\hrule{}\vspace{3mm}

Bestimmung von M<G> durch CAVENDISH 1798:
M<\\G = 6,\!67 \cdot 10^{-11}\, \mathrm{m}^3 \mathrm{kg}^{-1} \mathrm{s}^{-2};>


=for timestamp
Do Apr 14 16:56:23 CEST 2005

=head4 Massenbestimmung

=over

=item Erdmasse

M<\text{Gewichtskraft} = \text{Gravitationskraft}; \Rightarrow\\ mg = G \cdot
\dfrac{M_{\mathrm{Erde}} m}{R_{\mathrm{Erde}}^2}; \Rightarrow M_{\mathrm{Erde}}
= \dfrac{R_{\mathrm{Erde}}^2 g}{G} = 5,\!97 \cdot 10^{24}\mathrm{kg};>

=item Erddichte

M<\varrho = \dfrac{M_{\mathrm{Erde}}}{V_{\mathrm{Erde}}} =
\dfrac{M_{\mathrm{Erde}}}{\frac{4}{3} \pi R_{\mathrm{Erde}}^3} = 5,\!51
\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{dm}^3};>

=back


=for timestamp
Mo Apr 18 17:32:38 CEST 2005

=head4 Satellitenbahnen (Kreis)

Idee: M<F_{\mathrm{r}} = F_{\mathrm{Grav}}; \Rightarrow
\dfrac{m_{\mathrm{Sat}}v^2}{r} = G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Sat}}
M_{\mathrm{Erde}}}{r^2}; \Rightarrow v = \sqrt{G \cdot
\dfrac{M_{\mathrm{Erde}}}{r}};>

Umlaufdauer M<T>:
M<\\v = 2\pi\dfrac{r}{T}; \Rightarrow T = 2 \pi \dfrac{r}{v} =
2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G \cdot M_{\mathrm{Erde}}}};>


=for timestamp
So Apr 24 14:37:19 CEST 2005

=for comment
Schon am Do, den 21.4.2005.

=head4 Berechnung der Mondmasse

M<F_{\mathrm{r}} = F_{\mathrm{Grav}}; \Rightarrow m_{\mathrm{Mond}} \omega^2 r
= G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Mond}} \cdot m_{\mathrm{Erde}}}{r^2};>
(ungeeignet!)

Erde und Mond umlaufen einander!

=helper MyBook::Helper::XFig

#FIG 3.2
Landscape
Center
Metric
A4      
100.00
Single
-2
1200 2
1 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 1800 2250 1423 1423 1800 2250 3150 2700
1 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 5400 450 450 450 5400 450 5850 450
1 3 0 0 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 2700 1800 40 40 2700 1800 2740 1800
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 1800 2250 5400 450
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 315 2340 2160 x_E\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 360 3960 1350 x_M\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 105 60 3510 1305 r\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 480 5850 900 Mond\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 390 2700 3600 Erde\001

=hend

M<x_{\mathrm{Erde}} + x_{\mathrm{Mond}} = r;>

Zentripetalkräfte der beiden Bewegungen sind gleich (Ursache: Gravitation)

M<m_{\mathrm{Erde}} \omega^2 x_{\mathrm{Erde}} = m_{\mathrm{Mond}} \omega^2
x_{\mathrm{Mond}}; \Rightarrow m_{\mathrm{Erde}} x_{\mathrm{Erde}} =
m_{\mathrm{Mond}} x_{\mathrm{Mond}};>

⇒ M<m_{\mathrm{Erde}} x_{\mathrm{Erde}} = m_{\mathrm{Mond}} \left(r -
x_{\mathrm{Erde}}\right);>

Möglichst genaue Werte:

=over

=item *

M<r = 3,\!844 \cdot 10^8\mathrm{m};>

=item *

M<T = 27,\!322 \cdot 86400\mathrm{s};>

=item *

M<m_{\mathrm{Erde}} = 5,\!976 \cdot 10^{24}\mathrm{kg};>

=item *

M<G = 6,\!672 \cdot 10^{-11}\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{kg} \mathrm{s}^2};>

=back

Gravitationsgesetz:
M<\\F = G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Erde}} m_{\mathrm{Mond}}}{r^2} =
m_{\mathrm{Mond}} \omega^2 x_{\mathrm{Mond}};>

⇒ M<x_{\mathrm{Mond}} = \dfrac{G}{4\pi^2} m_{\mathrm{Erde}} \dfrac{T^2}{r^2} =
3,\!8088 \cdot 10^8\mathrm{m};>

⇒ M<x_{\mathrm{Erde}} = r - x_{\mathrm{Mond}} = 3,\!52 \cdot 10^6\mathrm{m};>

⇒ M<m_{\mathrm{Mond}} = m_{\mathrm{Erde}}
\dfrac{x_{\mathrm{Erde}}}{x_{\mathrm{Mond}}} = 5,\!52 \cdot
10^{22}\mathrm{kg};>

(Besserer Wert: M<m_{\mathrm{Mond}} = 7,\!35 \cdot 10^{22}\mathrm{kg};>)


=for timestamp
Mo Mai  2 17:53:53 CEST 2005

=head4 Das Gravitationsfeld

Radialsymmetrisches Kraftfeld

M<ma = F_{\mathrm{G}} = G\dfrac{mM}{r^2};>

⇒ M<a = \dfrac{F_{\mathrm{G}}}{m} = \dfrac{GM}{r^2};>

⇒ M<g(r) = \dfrac{G \cdot M}{r^2};> (Definition der Gravitationsfeldstärke)

I<Hubarbeit und potentielle Energie im Gravitationsfeld>

Auf der Erde: Hubarbeit M<W_{\mathrm{H}} = mgh> bei größerem M<h> ist M<g>
nicht konstant.

⇒ Intergralrechnung liefert:

M<W_{\mathrm{H}} = G \cdot mM \left(\dfrac{1}{r_{\mathrm{A}}} -
\dfrac{1}{r_{\mathrm{E}}}\right);> (Hubarbeit im Gravitationsfeld)

Arbeit für den Transport "ins Unendliche":

M<W_\infty = \lim\limits_{r_{\mathrm{E}} \to \infty} G \cdot
mM\left(\dfrac{1}{r_{\mathrm{A}}} -
\dfrac{1}{r_{\mathrm{E}}}\right) = G \cdot mM \cdot \dfrac{1}{r_{\mathrm{A}}};>

Beispiel: Geschwindigkeit, um einen Körper von der Erdoberfläche ins Weltall
abzuschießen (zweite kosmische Geschwindigkeit).

Ansatz: M<E_{\mathrm{kin}} = W_\infty; \Rightarrow v =
\sqrt{2GM_{\mathrm{E}}R_{\mathrm{E}}^{-1}} =
11,\!2\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}};>