=head3 Geradlinige Bewegungen

=head4 Die gleichförmige Bewegung

Kennzeichen: In gleichen Zeitabschnitten M<\Delta t> werden gleiche Wege
M<\Delta x> zurückgelegt.

=over

M<< \text{Weg} = x \sim t = \text{Zeit} \Longrightarrow \frac{x}{t} =
\mathrm{const.} =: v; >>

=back

Die Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung ist der konstante Quotient
M<\frac{x}{t}>.

=over

M<< v = \frac{x}{t} >> und M<< v = \frac{\Delta x}{\Delta t}; >>

=back

Graphische Darstellung: M<< v = \frac{x}{t}; \Longrightarrow x = v \cdot t >>

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

set noxtics
set noytics
set title "Zeit-Ort-Diagramm (t-x-Diagramm)"
set xlabel "t"
set ylabel "x"
plot 1/2.*x t ''

=hend

M<< v = \frac{\Delta x}{\Delta y}; >>

Die Steigung der Ursprungsgeraden ist ein Maß für die Geschwindigkeit.

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

set noxtics
set noytics
set title "Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm (t-v-Diagramm)"
set xlabel "t"
set ylabel "v"
set yrange [ 0 : 2 ]
plot 1 t '' with boxes fill solid 0.5

=hend

Die Fläche unter dem M<t>-M<v>-Diagramm ist ein Maß für den zurückgelegten Weg
M<x>.

=head4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung

=for timestamp
Mo Sep 27 20:49:55 CEST 2004

Kennzeichen: Die Geschwindigkeit ändert sich proportional zur Zeit.

=over

M<< v \sim t; >>

=back

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

set noxtics
set noytics
set xlabel "t"
set ylabel "v"
plot 1/2.*x t ''

=hend

Die Geschwindkeit nimmt bei festen Zeitintervallen M<\Delta t> stets um den
selben Betrag zu. ⇒ M<< \Delta v \sim \Delta t; >>

Es gilt: M<< \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v}{t} = \mathrm{const.}; >>

Der konstante Quotient M<\frac{\Delta v}{\Delta t}> wird als Beschleunigung
M<a> der gleichmäßig beschleunigten Bewegung bezeichnet.

=for timestamp
Di Sep 28 20:43:42 CEST 2004

Einheit der Beschleunigung: M<1 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};>

Umrechnung:

=over

=item *

M<< 1 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = \frac{1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}} =
\frac{1}{3,6} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}; >>

=item *

M<< 1 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 3,6 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}; >>

=back

=over

M<< \frac{v}{t} = a = \mathrm{const.}; >>

=back

⇒ Bewegungsgleichung: M<< v\left(t\right) = a \cdot t; >> (Geschwindigkeit-Zeit-Funktion)

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

set noxtics
set noytics
set xlabel "t"
set ylabel "v"
set xrange [ 0 : ]
plot 1/2.*x t '' w boxes fill solid 0.5

=hend

M<< s = \overline{v} \cdot t = \frac{v}{2} t = \frac{at}{2} t = \frac{at^2}{2};
>>

⇒ M<< x\left(t\right) = \frac{1}{2} a \cdot t^2; >>

Weitere Herleitung: Die Fläche M<\triangle O t v> ist ein Maß für die Strecke.
⇒ M<< x\left(t\right) = \frac{1}{2} t v = \frac{1}{2} a t^2; >>
(Dreiecksfläche).

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

set noxtics
set noytics
set xlabel "t"
set ylabel "x"
set xrange [ 0 : ]
set yrange [ 0 : 15 ]
plot x**2 t ''

=hend

Der Graph ist eine Parabel!

=for timestamp
Do Sep 30 15:57:18 CEST 2004

=table Gleichmäßig beschleunigte Bewegung    | Gleichförmige Bewegung
=row   M<a\left(t\right) = \mathrm{const.};> | M<a\left(t\right) = 0;>
=row   M<v\left(t\right) = at;>              | M<v\left(t\right) = \mathrm{const.};>
=row   M<x\left(t\right) = \frac{1}{2}at^2;> | M<x\left(t\right) = vt;>

Zusätzlich: M<<
{} \left.\begin{array}{l}
{}   v^2 = a^2 t^2; \Longrightarrow t^2 = \frac{v^2}{a^2}; \\
{}   x = \frac{1}{2} a t^2;
{} \end{array}\right\}
{} \Longrightarrow v^2 = 2 a x;
>>

Trägheitssatz von NEWTON:

=over

Ein Körper behält seinen Bewegungszustand bei, wenn auf ihn keine Kräfte wirken, d.h., er bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig gleichförmig weiter.

=back

Messung:

=over

=item *

M<t_1 = 1,4731\mathrm{s};> M<\Delta t_1 = 0,0119\mathrm{s};> M<x_1 = 0,303\mathrm{m};>

=item *

M<t_2 = 2,0863\mathrm{s};> M<\Delta t_2 = 0,0083\mathrm{s};> M<x_2 = 0,607\mathrm{m};>

=item *

M<t_3 = 2,5552\mathrm{s};> M<\Delta t_2 = 0,0067\mathrm{s};> M<x_3 = 0,906\mathrm{m};>

=back

1. Auswertung nach M<a = \frac{v}{t}>:

=over

=item *

M<a_1 = \frac{v_1}{t_1} = 0,28 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};>

=item *

M<a_2 = \frac{v_2}{t_2} = 0,29 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};>

=item *

M<a_3 = \frac{v_3}{t_3} = 0,29 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};>

=back

2. Auswertung nach M<a = \frac{2x}{t^2}>:

=over

=item *

M<a_1 = \frac{2x_1}{t_1^2} = 0,279 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};>

=item *

M<a_2 = \frac{2x_2}{t_2^2} = 0,279 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};>

=item *

M<a_3 = \frac{2x_3}{t_3^2} = 0,278 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};>

=back

=head4 Geradlinige Bewegungen mit Anfangsgeschwindigkeit

Bewegungsleichungen:

=over

=item *

M<v(t) = v_0 + a \cdot t;>

=item *

M<x(t) = v_0 \cdot t + \frac{1}{2}at^2;>

=item *

M<v(t)^2 - v_0^2 = 2ax;>

=back




=for timestamp
Do Okt 14 18:16:42 CEST 2004

=head4 Zum Bremsweg

M<v^2 - v_0^2 = 2ax_{Br}; \Longrightarrow x_{Br} = -\frac{v_0^2}{2a}; a =
-\frac{v_0^2}{2x};>


=for timestamp
Di Okt 19 15:54:49 CEST 2004

=head4 Faustregeln aus der Fahrschule

M<Z>: Zahl, die am Tacho abgelesen wird. D.h.: M<v_0 = Z
\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}};>

I<Reaktionsweg>: Faustregel: M<x_R = \frac{Z}{10} \cdot 3 \mathrm{m} = 0,3 \cdot Z
\mathrm{m};>

"Schrecksekunde" M<t_R = 1\mathrm{s};> ⇒ M<x_R = v \cdot t_R = 0,28 \cdot Z
\mathrm{m};>

I<Bremsweg>: M<x_{Br} = \left( \frac{Z}{10} \right)^2 \mathrm{m};>

exakt: M<x_{Br} = - \frac{v_0^2}{2a};>

Wie groß ist M<a> in der Faustregel? M<a = -\frac{v_0^2}{2x_{Br}} \approx -4
\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};>