=for timestamp
Do Feb  3 17:47:15 CET 2005

=head3 Kreisbewegung

Bogenlänge: M<s = \varphi \cdot r;>

=for timestamp
Sa Feb 19 15:21:19 CET 2005

=for comment
Schon am Do (letzte Stunde Schwingenschlögl).

Mittlere Geschwindigkeit: M<\overline{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t};>

Mittlere Winkelgeschwindigkeit: M<\overline{\omega} = \frac{\Delta
\varphi}{\Delta t}; \quad \left[\overline{\omega}\right] =
\frac{1}{\mathrm{s}};>

Konstante Winkelgeschwindigkeit: M<\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} =
\frac{\varphi - \varphi_0}{t - t_0};> ⇒ M<\omega = \frac{\varphi}{t};>

Umlaufdauer M<T>: M<\omega = \frac{2\pi}{T}; \quad \left[T\right] =
\mathrm{s};>

Frequenz M<f>: M<f = \frac{1}{T}; \quad \left[f\right] = \frac{1}{\mathrm{s}} =
\mathrm{Hz};>

⇒ M<\omega = 2 \pi f;>

Bewegungsgleichungen:

=over

=item *

M<x(t) = r \cdot \cos \omega{}t;>

=item *

M<y(t) = r \cdot \sin \omega{}t;>

=back

Bahngeschwindigkeit: M<v = \frac{\varphi r}{t} = \frac{\omega t r}{t} = \omega
r;>

Die Bahngeschwindigkeit ist tangential zum Kreis und steht senkrecht zum
Ortsvektor M<\vec v>.


=for timestamp
Do Feb 24 17:48:55 CET 2005

=for comment
Ab hier wieder Mücke.

Für die Ablenkung aus der geradlinigen Bahn ist (vgl. Trägheitssatz!) eine
Kraft nötig. Bei einer Kreisbahn ist diese Kraft zum Kreismittelpunkt hin
gerichtet und heißt I<Zentripetalkraft>.

Gleichförmige Bewegung: M<\left| \vec v \right|> ändert sich nicht.


=for timestamp
Mo Feb 28 19:34:12 CET 2005

Symbol für die Zentripetalkraft: M<\vec F_r>

Nach Newton: M<\vec F_r = m \cdot \vec a_r;>

Bestimmung der Zentripetalbeschleunigung M<\vec a_r>:

=over

=item *

Richtung von M<\vec a_r>: radial nach innen

=item *

Betrag von M<\vec a_r>: M<\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}>: mittlere
Beschleunigung im Zeitintervall M<\Delta t>

M<\Delta t \to 0> → Momentanbeschleunigung

⇒ M<\vec a_r = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\vec v}{\Delta t};>

[Abb.]

M<\vec v' = \vec v + \Delta\vec v;>

Wegen ähnlicher Dreiecke folgt: M<\dfrac{\Delta v}{v} =
\dfrac{\overline{PP'}}{r};> ⇒ M<\Delta v = v \cdot \dfrac{\overline{PP'}}{r};>
⇒ M<\dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{v}{\Delta t}
\dfrac{\overline{PP'}}{r};>

Mit M<\Delta t \to 0> nähert sich M<\overline{PP'}> der Bogenlänge M<\Delta s =
v \cdot \Delta t> an.

⇒ M<\lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta v}{\Delta t} =
\lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{v}{\Delta t} \dfrac{\overline{PP'}}{r}>
"M<=>" M<\lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{v}{r} \dfrac{v \cdot \Delta
t}{\Delta t} = \frac{v^2}{r} = \left|\vec a_r\right|;>

Ergebnis: Für den Betrag der Zentripetalbeschleunigung bei der gleichförmigen
Kreisbewegung gilt: M<\left|\vec a_r\right| = a_r = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r;>


=for timestamp
Di Mär  1 16:13:16 CET 2005

=for comment
M<\omega^2 r> war in dieser Stunde, der Rest schon letztes Mal.

Es gilt: M<a_r \sim r;>

=back

Folgerung: Für die Zentripetalkraft M<F_r> gilt daher (nach NEWTONs 2. Gesetz):
M<F_r = m \cdot a_r = m \frac{v^2}{r} = m \omega^2 r> mit M<\omega =
\frac{2\pi}{T};>


=for timestamp
Do Mär  3 17:08:06 CET 2005

[Versuch: Überprüfung unserer deduktiven Herleitung]


=for timestamp
Mo Mär  7 15:51:13 CET 2005

=head4 Beispiel: Schiffschaukel (vgl. Buch S. 89)

[Abbildung: Kreis, oben A, links B, unten C]

=over

=item a)

In M<A> soll M<v_A> so groß sein, dass ein Gegenstand in der Schaukel nicht
herunterfällt (Schwerelosigkeit), d.h. in M<A> wird die Gewichtskraft komplett
für die Zentripetalkraft verwendet:

M<F_{R_A} = F_G; \Rightarrow m\frac{v_A^2}{r} = mg; \Rightarrow v_A = \sqrt{rg};>

=item b)

Betrag der Geschwindigkeit auf dem Weg von M<A> nach M<C>:

Energieerhaltung ⇒ M<\left|\vec v\right|> nimmt zu.

In M<C>: Nullniveau für M<E_{\mathrm{pot}}>

Energiebilanz in der Höhe M<h>: M<2mgr + \frac{1}{2}mv_A^2 = mgh +
\frac{1}{2}mv_h^2; \Rightarrow v_h = \sqrt{5gr - 2gh};>

Geschwindigkeit in M<B>: M<v_B = \sqrt{5gr - 2gr} = \sqrt{3gr}; \Rightarrow
F_{R_B} = 3mg;>

Geschwindigkeit in M<C>: M<v_C = \sqrt{5gr - 0}   = \sqrt{5gr}; \Rightarrow
F_{R_C} = 5mg;>

=back


=for timestamp
Do Mär 10 17:25:54 CET 2005

=head4 Kurvenfahrt

M<F>: Kraft der Straße auf das Auto (Gegenkraft der Normalkraft)

Bei idealer Kuvenüberhöhung liefert M<\vec F + \vec G> eine Kraft zum
Mittelpunkt der Kreisbahn: M<\\ \vec F_r = \vec F + \vec G;>

Bei idealer Kurvenüberhöhung gilt:

M<\tan\alpha = \dfrac{F_r}{G} = \dfrac{m\frac{v^2}{r}}{mg} = \dfrac{v^2}{rg};>
(unabhängig von M<m>)

⇒ M<v = \sqrt{rg \cdot \tan\alpha}> ist die optimale Geschwindigkeit für die
Kurve.


=for timestamp
Mo Mär 14 16:41:18 CET 2005

=head4 Radler in der Kurve (ohne Überhöhung)

=helper MyBook::Helper::XFig

#FIG 3.2
Landscape
Center
Metric
A4      
100.00
Single
-2
1200 2
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 2250 3600 2700 4500
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 2250 3600 1800 2700
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 1800 2700 1350 1800
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 2250 3600 2250 4500
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 2250 3600 2700 3600
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 1800 2700 1800 3600
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 1800 2700 1350 2700
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 0 0 2
	 2250 1350 2250 3600
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 2250 4500 2700 4500
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 1350 2700 1350 3600
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 1350 3600 1800 3600
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 1350 2700 1350 1800
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 1800 3600 2250 3600
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 2700 4500 2700 3600
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 195 2790 4500 -F\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 360 1800 4500 F_G\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 360 1440 3780 F_G\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 315 2610 3510 F_s\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 120 1530 1890 F\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 135 2070 3780 A\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 285 990 2610 F_r\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 465 1710 3600 alpha\001

=hend

=over

=item *

Neigung nach innen um M<\alpha>

=item *

M<\vec F_r>: Zentripetalkraft

=item *

M<\vec F_s>: Seitliche Kraft

=item *

M<A>: Auflagepunkt

=back

M<\vec F> ist die Reactio auf die Kraft des Rades im Auflagepunkt M<A>. Ihre
I<Vertikalkomponente> hält M<F_G> das Gleichgewicht.

Die I<Horizontalkomponente> von M<\vec F> ist M<\vec F_r>. Sie hat keine
ersichtliche GegenkraftN<Die Gegenkraft ist die Trägheit der Masse.> und dient
als Zentripetalkraft.

Für den Neigungswinkel M<\alpha> gilt: M<\\\tan\alpha = \frac{F_r}{F_g} =
\frac{v^2}{rg};>

In M<A>: M<F_s> muss von der Haftung zwischen Reifen und Fahrbahn aufgebracht
werden. Haftkraft M<F_H \geq F_s = F_r;>

Wegen M<F_H = \mu \cdot F_s> folgt für die Haftreibungszahl: M<\\\mu \cdot F_G
\geq F_r; \Rightarrow \mu \geq \frac{F_r}{F_G} = \tan\alpha;>

Also sichere Kurvenfahrt, solange M<\mu E<gt> \tan\alpha;>


=for timestamp
Mo Apr  4 17:23:57 CEST 2005

=for comment
Schon am Do vor den Ferien, also am 17.3.2005.

=head4 Zwei Probleme

=over

=item *

Wie beeinflusst die Erdrotation die Gewichtskraft der Körper auf der
Erdoberfläche (am Äquator, in Augsburg (48° n.Br.)) prozentual?

M<F_r(\alpha) = m\dfrac{v^2}{r} = m\dfrac{v^2}{r\cos\alpha};>

M<F_e(\alpha) = mg - F_R(\alpha) = m\left[g - \dfrac{v^2}{r\cos\alpha}\right];>

M<\dfrac{F_e(\alpha)}{mg} = 1 - \dfrac{v^2}{rg\cos\alpha} = 1 -
\dfrac{4\pi^2r^2}{rgT\cos\alpha} = 1 - \dfrac{4\pi^2r}{Tg\cos\alpha};>

⇒ Bei 0°:  ca. 0,00343%M<\\>
⇒ Bei 48°: ca. 0,00513%

=item *

Jeder Massenpunkt der Erdkugel, der nicht auf der Erdachse liegt, erfährt eine
Zentrifugalkraft M<F_{fl} = m\omega^2R_E\cos\varphi>. Sie ist senkrecht zur
Erdachse gerichtet. M<F_{fl}> kann in zwei Komponenten zerlegt werden:

=over

=item *

Die senkrecht zur Erdoberfläche gerichtete I<Radialkomponente>
M<F_{\mathrm{rad}}> -- Sie bewirkt...

=item *

Eine tangential zur Erdoberfläche (längs der Meridiane) verlaufende, zum
Äquator gerichtete I<Tangentialkomponente> M<F_{\mathrm{tang}}>. Sie hat die
Abplattung der Erde mit dem Wülsten am Äquator verursacht. (Die feste Erdkruste
"schwimmt" auf einem flüssigen Kern!)

=back

=back