=for timestamp
Do Mai 26 17:54:17 CEST 2005

=head3 Mechanische Schwingungen

=for timestamp
Do Mai 26 17:54:25 CEST 2005

=for comment
Schon in der letzten Ph-Stunde, also am 12.5.2005.

=head4 Grundgrößen

=over

=item *

Schwingungsdauer M<T> (Periode)

=item *

Frequenz M<f>:

Quotient aus der Anzahl der Schwingungen M<n> und der dafür benötigten Zeit
M<t>

M<f = \frac{n}{t};>

Speziell für M<n = 1>; ⇒ M<f = \frac{1}{T};>

Einheit: M<1 \mathrm{s}^{-1} = 1 \mathrm{Hz}> (HEINZ, err, HERTZ)

=item *

Momentane Auslenkung oder Elongation M<y(t)>:

Zeitabhängig, Abstand des Körpers von der Ruhelage

Am Gleichgewichtspunkt ist M<y = 0;>

=item *

Amplitude M<A>: Maximale Elongation (M<A E<gt> 0>)

=item *

Die I<Rückstellkraft M<F>> ist diejenige Kraft, die auf den ausgelenkten Körper
in Richtung der Ruhelage wirkt.

=back


=for timestamp
Mo Jun  6 17:39:08 CEST 2005

=head4 Gleichförmige Kreisbewegung und harmonische Schwingung

Es gilt:

M<<
{} \left.\begin{array}{rcl}
{}   y(t)    &=& A \cdot \varphi; \\
{}   \varphi &=& \omega t;
{} \end{array}\right\} \Rightarrow y(t) = A \cdot \sin \omega{}t; \Rightarrow y(t) = A
\cdot \sin(2\pi \frac{t}{T});
>>

Die Schattenprojektor der Kreisbewegung führt eine I<Sinusschwingung> aus. Man
nennt periodische Sinusschwingungen auch I<harmonische Schwingungen>.

=head4 Eigenschaften harmonischer Schwingungen

=over

=item *

Weg-Zeit-Funktion: M<y(t) = A \cdot \sin \omega{}t;>

=item *

Geschwindigkeit-Zeit-Funktion: M<v(t) = \dot{y}(t) = A\omega \cdot \cos
\omega{}t;>

=item *

Beschleunigung-Zeit-Funktion: M<a(t) = \dot{v}(t) = \ddot{y}(t) = -A\omega^2
\cdot \sin \omega{}t;>

Folgerung: M<\ddot{y}(t) = -\omega^2 \cdot y(t);>

M<a(t) = -\omega^2 \cdot y(t); \Rightarrow a(t) \sim y(t)>! (Direkte
Proportionalität)

=back


=for timestamp
Di Jun  7 17:09:39 CEST 2005

Bei harmonischen Schwingungen ist die Beschleunigung proportional zur
Auslenkung.

M<a(t) = -\omega^2 \cdot y(t);>

Nach Newton (M<F = ma>)

M<F(t) = m a(t) = -m\omega^2 \cdot y(t);> (Rückstellkraft)

Federgesetz (Hooksches Gesetz): M<F = -Dy>

⇒ Für Federn gilt: M<D = m\omega^2;>

M<\omega = \frac{2\pi}{T}; \Rightarrow D = m \frac{4\pi^2}{T^2}; \Rightarrow T
= 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}};> (Schwingungsdauer der Federschwingung)

Harmonische Schwingungen erkennt man an einem linearen Kraftgesetz, die
Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung.

=for timestamp
Do Jun  9 20:02:59 CEST 2005

[Überprüfung der Formel im Experiment (stimmt M<T> der "Wirklichkeit" mit dem
berechneten Wert überein?)]

[Antwort: Ja, natürlichI<.> C<;)>]


=for timestamp
Sa Jun 25 17:32:08 CEST 2005

=head4 Das Fadenpendel

=for comment
Schon am Montag, den 20.6.2005, glaube ich, bin mir aber nicht mehr 100% sicher
(hatten Hefteintrag verlegt (ok, habe auch nicht danach gesucht)).

Auslenkung: Bogenstück M<y>

M<y = \alpha l;>

M<F_{\mathrm{R}} = F_{\mathrm{G}} \cdot \sin\alpha = mg \cdot \sin\alpha;>
(Rückstellkraft)

M<\sin\alpha = \frac{F_{\mathrm{R}}}{{\mathrm{G}}}; \Rightarrow F_{\mathrm{R}}
= mg \cdot \sin\frac{y}{l};> (Kein lineares Kraftgesetz!)

Aber: Für kleine Auslenkwinkel M<\alpha> gilt M<\sin\alpha \approx \alpha>.

⇒ Für kleine M<\alpha> gilt näherungsweise:

M<F_{\mathrm{R}} = mg \frac{y}{l};> (Lineares Kraftgesetz)

(Spiralfeder: M<F_{\mathrm{R}} = Dy;>)

M<F_{\mathrm{R}} = kg> mit M<k = \frac{mg}{l}> mit M<T =
2\pi\sqrt{\frac{m}{D}};>

⇒ Schwingungsdauer M<T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}} = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{mg}} =
2\pi\sqrt{\frac{l}{g}};>