=for timestamp
So Okt  2 15:18:16 CEST 2005

=head2 Das bestimmte Integral

"Ich geb' euch immer so dumme Antworten, weil ihr mir in einer Vagheit Fragen
stellt -- bei denen hab' ich keine Chance, richtig zu antworten."

"Vor Newton ist das Fallen eines Steines im wahrsten Sinne des Wortes
ungesetzlich gewesen -- viele sagen sogar, vor Newton sind Steine [gar] nicht
gefallen."

=head3 Spezielle Flächen

M<F = \left\{ P(x,y) \,|\, x \in \left[a, b\right] \wedge y \in \left[0,
\mathrm{f}(x)\right] \wedge \mathrm{f} \text{ stetig auf } \left[a, b\right]
\right\};>

Wie lässt sich der Inhalt der Fläche, M<\mathrm{A}_a(x)>, bestimmen?

Wie betrachten das Änderungsverhalten von M<\mathrm{A}_a(x)>:

M<<
{}  \renewcommand{\arraystretch}{1.7} \begin{array}{rcccl}
{}   \mathrm{A}_a(x) + h \min\limits_{\left[x, x+h\right]} \mathrm{f}(x) &
{}   \leq &
{}   \mathrm{A}_a(x + h) &
{}   \leq &
{}   \mathrm{A}_a(x) + h \max\limits_{\left[x, x+h\right]} \mathrm{f}(x); \\
{}   \mathrm{A}_a(x) - h \min\limits_{\left[x-h, x\right]} \mathrm{f}(x) &
{}   \geq &
{}   \mathrm{A}_a(x - h) &
{}   \geq &
{}   \mathrm{A}_a(x) - h \max\limits_{\left[x-h, x\right]} \mathrm{f}(x);
{} \end{array}
>>

M<<
{}  \renewcommand{\arraystretch}{1.7} \begin{array}{rcccl}
{}   \min\limits_{\left[x, x+h\right]} \mathrm{f}(x) &
{}   \leq &
{}   \frac{\mathrm{A}_a(x + h) - \mathrm{A}_a(x)}{h} &
{}   \leq &
{}   \max\limits_{\left[x, x+h\right]} \mathrm{f}(x); \\
{}   \mathrm{f}(x) &
{}   \leq &
{}   \mathrm{A}_a'(x) &
{}   \leq &
{}   \mathrm{f}(x);
{} \end{array}
>>


=for timestamp
Mi Okt  5 17:07:17 CEST 2005

"Weil die einen Doofen von den anderen Doofen gerne gelobt werden"

Die Flächenfunktion ist eine Stammfunktion der Randfunktion, und zwar die
Stammfunktion, für die gilt:

M<\mathrm{A}_a(a) = 0;>


=for timestamp
Mo Okt 24 17:47:31 CEST 2005

Für M<\mathrm{f}(x) \leq 0> auf M<\left[a,b\right]> soll sein:

M<\displaystyle\int\limits_a^b \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x := -\int\limits_a^b
-\mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x \leq 0;>

[B. S. 41]

[B. S. 46: M<\displaystyle\mathrm{F}'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}
\int\limits_k^x \mathrm{f}(t) \,\mathrm{d}t = \mathrm{f}(x);>]


=for timestamp
Di Okt 25 15:52:13 CEST 2005

M<f> integrierbar über M<\left[a,b\right]> und dort M<\mathrm{F}' =
\mathrm{f}>.

Dann gilt: M<\displaystyle\int\limits_a^b \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x =
\mathrm{F}(b) - \mathrm{F}(a);>

=head3 Eigenschaften des bestimmten Integrals

=over

=item *

M<\displaystyle\int\limits_a^b k \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = k
\int\limits_a^b \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x; \quad k \in \mathds{R};>

"Ja ich bin nicht meine Skizze"

"Ich bin nicht mal meine Stimme"

"sonst würde ich ja »meine Stimme« heißen"

=item *

M<\displaystyle\int\limits_a^b \left[\mathrm{f}(x) + \mathrm{g}(x)\right]
\,\mathrm{d}x = \int\limits_a^b \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x + \int\limits_a^b
\mathrm{g}(x) \,\mathrm{d}x;>

=item *

M<\displaystyle\int\limits_a^b \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x + \int\limits_b^c
\mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \int\limits_a^c \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x;>

=back


=for timestamp
So Okt 30 17:21:22 CET 2005

M<\displaystyle-\int\limits_a^b \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x =: \int\limits_b^a
\mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x; \quad a E<lt> b;>

[in der Ableitung steckt die Richtung]