% Default LaTeX preambel follows...
\batchmode
\makeatletter
\makeatother

% We speak German...
% Change the header/footer-template if you are not, see above.
\documentclass[12pt,a4paper,ngerman]{article}

% Activate full utf-8 support.
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}

% Default font is Bookman.
\usepackage{bookman}

% Yes, we do want our pages be numbered.
% XXX: No!
\pagestyle{empty}

% Some other packages...
\usepackage{babel}      % Automatical hyphenation
\usepackage{latexsym}   % Some nice symbols
\usepackage{url}        % Breakable URLs
\usepackage{textcomp}   % Some symbols (copyright, etc.)
\usepackage{graphics}   % Support for images
\usepackage{amsmath}    % Many mathematical symbols
\usepackage{amssymb}
\usepackage{stmaryrd}   % Additional mathematical symbols
\usepackage{varioref}   % Nice inner-document references
\usepackage{color}      % Color support, may be needed by subclasses of
                        % MyBook::Output::LaTeX
\usepackage[official,right]{eurosym}
                        % Support for the euro sign
\usepackage{tabularx}   % Nice tables
\usepackage{hyperref}   % Clickable TOC
\usepackage{setspace}   % User-settable line-height.

% DELETEME:
%\usepackage{rotating}
%\usepackage{shapepar}
%\usepackage{psfrag}
%\usepackage{array}
%\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}

% Allowing to have real IR, etc. in math mode:
%     \mathds{C}
\usepackage{dsfont}

\DeclareMathAlphabet{\varmathds}{U}{dsss}{m}{n}
%\DeclareMathSymbol{,}{\mathord}{letters}{"3B} %"

% Support for "head level=4":
\newcommand{\MBsubsubsubsection}[1]{\paragraph{#1}\rule{0pt}{0pt}\par{}}

% MyBook::Output::LaTeX outputs "\MBem{...}" for emphasized text.
\newcommand{\MBem}[1]{\textbf{#1}}
% MyBook::Output::LaTeX outputs "\MBembcode{...}" for embedded sourcecode.
% For whatever reason, we have to define this command *after* \begin{document}.
% Don't ask me.
% MyBook::Output::LaTeX outputs "\MBsacode{...}" for stand-alone sourcecode.
\newcommand{\MBsacode}[1]{\texttt{#1}}

% Support for list type=listing and type=associative:
\newenvironment{MBlisting}{\begin{list}{}{}\small\item{}}{\end{list}}
\newcommand{\MBitem}[1]{#1\vspace{-2mm}}
\newenvironment{MBassoc}{\begin{description}}{\end{description}}
\newcommand{\MBassocitem}[2]{\item[#1]\rule{0pt}{0pt}\\#2}

% Nice inner-document references:
\newcommand{\MBref}[1]{\vpageref*{#1}}

% No single lines at the start of a paragraph (Schusterjungen)
\clubpenalty=10000
% No single lines at the end of a paragraph (Hurenkinder)
\widowpenalty=10000
\displaywidowpenalty=10000

\makeatletter
\makeatother

% Some other sensible defaults: We want our text to be formatted like
% 
%     This is the first paragraph. This is the first paragraph. This is the
%     first paragraph. This is the first paragraph. This is the first
%     paragraph.
%     
%     This is the second paragraph. This is the second paragraph. This is the
%     second paragraph. This is the second paragraph. This is the second
%     paragraph.
% 
% instead of
% 
%         This is the first paragraph. This is the first paragraph. This is the
%     first paragraph. This is the first paragraph. This is the first
%     paragraph. This is the first paragraph.
%     
%         This is the second paragraph. This is the second paragraph. This is
%     the second paragraph. This is the second paragraph. This is the second
%     paragraph.
% 
% Again, change the header/footer-template (see above) if our tastes differ...
% :)
\setlength\parskip{\medskipamount}
\setlength\parindent{0pt}

\usepackage{geometry}
\geometry{verbose,tmargin=1.5cm,bmargin=1.7cm,lmargin=1.0cm,rmargin=1.0cm} 
\newcommand{\slide}[2]{
  \newpage
  \begin{center}\Huge\underline{#1}\end{center}
  \Large#2
}
\newcommand{\textlt}[1]{\textsc{#1}}

% From http://help-csli.stanford.edu/tex/latex-footnotes.shtml
%\long\def\symbolfootnote[#1]#2{\begingroup%
\def\thefootnote{\fnsymbol{footnote}}

%\setstretch{1.2}


\begin{document}

\begin{center}
  \huge  Aufbau der natürlichen, ganzen, \\ rationalen und surrealen Zahlen \\
  \tiny  Facharbeitsvorstellung von Ingo Blechschmidt
         am Tag der Facharbeiten des Holbein-Gymnasiums Augsburg, dem
         26. April 2007
\end{center}

\vspace*{0.6em}

\newcommand{\za}[1]{}  %(Z.~#1)}
\newcommand{\zb}[1]{}  %(Z'.~#1)}
\newcommand{\zc}[1]{}  %(Z{}'{}'{}.~#1)}

\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\newenvironment{zitemize}{\begin{list}{--}{\addtolength{\leftmargin}{-1.5em}}}{\end{list}}

\begin{multicols}{2}
\section*{Natürliche Zahlen}
\begin{zitemize}
  \item[--] Definition eines Nullelements $0$,
            einer Nachfolgerfunktion $S$ und von Zah­len­sym­bo­len zur
            einfacheren Handhabung:
            $
              \displaystyle
              \begin{array}{@{}rcl}
                1 &:=& S(0) \\
                2 &:=& S(1) = S(S(0)) \\
                3 &:=& S(2) = S(S(S(0))) \\
                4 &:=& S(3) = S(S(S(S(0)))) \\
                  &\vdots
              \end{array}
            $
  \item[--] Definition der Addition, Subtraktion und Multiplikation ($n,m$
            natürliche Zahlen): \\
            $
              \displaystyle
              \begin{array}{@{}rclcl}
                n &+& 0    &:=& n \\
                n &+& S(m) &:=& S(n + m) \\
                \\
                n    &-& 0    &:=& n \\
                S(n) &-& S(m) &:=& n - m \\
                \\
                n &\cdot& 0    &:=& 0 \\
                n &\cdot& S(m) &:=& n \cdot m + n
              \end{array}
            $
\end{zitemize}

\vfill
\columnbreak

\section*{Ganze Zahlen}
\begin{zitemize}
  \item[--] Grundidee: Auffassung ganzer Zahlen als Re­prä­sen­tan­ten des
            \textsl{Unterschieds} zwischen zwei natürlichen Zahlen
  \item[--] Notation als Paare zweier natürlicher Zahlen: \\
            $
              \displaystyle
              \begin{array}{@{}rcl}
                0_{\mathds{Z}} &:\equiv&
                  (0,0) \equiv (1,1) \equiv (2,2) \equiv \cdots \\
                1_{\mathds{Z}} &:\equiv&
                  (1,0) \equiv (2,1) \equiv (3,2) \equiv \cdots \\
                2_{\mathds{Z}} &:\equiv&
                  (2,0) \equiv (3,1) \equiv (4,2) \equiv \cdots \\
                \left(-1\right)_{\mathds{Z}} &:\equiv&
                  (0,1) \equiv (1,2) \equiv (2,3) \equiv \cdots \\
                \left(-2\right)_{\mathds{Z}} &:\equiv&
                  (0,2) \equiv (1,3) \equiv (2,4) \equiv \cdots \\
                  &\vdots
              \end{array}
            $

            (Repräsentation von \textsl{natürlichen}, nicht \textsl{ganzen}
            Zahlen durch die Zahlensymbole innerhalb der Paare)
  \item[--] Definition der Addition, Subtraktion und Multiplikation ($n,m,
            \nu,\mu$ natürliche Zahlen): \\
            $
              \displaystyle
              \begin{array}{@{}rclcl}
                (n,m) &+_{\mathds{Z}}& (\nu,\mu) &:=& (n+_{\mathds{N}_0}\nu,m+_{\mathds{N}_0}\mu) \\
                (n,m) &-_{\mathds{Z}}& (\nu,\mu) &:=& (n+_{\mathds{N}_0}\mu,m+_{\mathds{N}_0}\nu) \\
                (n,m) &\cdot_{\mathds{Z}}& (\nu,\mu) &:=& (n \nu +_{\mathds{N}_0}
                m \mu,n \mu +_{\mathds{N}_0} m \nu)
              \end{array}
            $
\end{zitemize}
\end{multicols}

\textbf{Hier nicht ausgeführt:}
Detailliertere Herleitung der Definitionen $\bullet$
Belege, dass die hier aufgeführten Definitionen tatsächlich die bekannten
Rechenvorschriften widerspiegeln $\bullet$
Ver­gleich mit den Rechentechniken von Kindern $\bullet$
Division $\bullet$
Relationen ($\leq$, $<$, $>$, $\geq$) $\bullet$
Diskussion der Nichteindeutigkeit der Repräsentation bei den ganzen Zahlen
$\bullet$
Aufbau der rationalen Zahlen $\bullet$
Sur­re­a­le Zahlen -- 1974 entdeckter/erfundener Zahlenbereich, der "`unendlich
große"' und "`unendlich kleine"' Zahlen enthält und trotzdem konsistent ist

\vfill
\framebox{\vbox{
  \textbf{Beweis, dass $\mathbf{2 + 2 = 4}$ (mit natürlichen Zahlen)}

  $
    \displaystyle
    \begin{array}{@{}cll}
      & 2 + 2 = &
        \qquad \text{{(Schreiben des zweiten Summanden als Nachfolger)}} \\
     =& 2 + S(1) = &
        \qquad \text{{(Anwenden der Additionsvorschrift)}} \\
     =& S(2 + 1) = &
        \qquad \text{{(Schreiben des zweiten Summanden als Nachfolger)}} \\
     =& S(2 + S(0)) = &
        \qquad \text{{(Erneutes Anwenden der Additionsvorschrift)}} \\
     =& S(S(2 + 0)) = &
        \qquad \text{{(Anwenden der ersten Regel der Additionsvorschrift)}} \\
     =& S(S(2)) = &
        \qquad \text{{(Schreiben als Dezimalzahl)}} \\
     =& S(3) = 4 & \qquad \blacksquare
    \end{array}
  $
}}

\vspace*{5mm}
\small
Facharbeit im PDF-Format: \url{http://xrl.us/uejj} $\bullet$
Vortragsfolien: \url{http://xrl.us/vwif}

\end{document}
