=for timestamp
Mi Mär 22 15:17:20 CET 2006

=head2 Determinanten

=head3 3x3-Determinanten

M<\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}
= \underbrace{+}_{\left(-1\right)^{1+1}} a_{11}
\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}
\underbrace{-}_{\left(-1\right)^{2+1}} a_{21}
\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}
\underbrace{+}_{\left(-1\right)^{3+1}} a_{31}
\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}\!;>

M<\begin{array}{rcrcrcl}
{} a_{11} x_1 &+& a_{12} x_2 &+& a_{13} x_3 &=& b_1; \\
{} a_{21} x_1 &+& a_{22} x_2 &+& a_{23} x_3 &=& b_2; \\
{} a_{31} x_1 &+& a_{32} x_2 &+& a_{33} x_3 &=& b_3;
\end{array}>

[Dieses Gleichungssystem] hat genau eine Lösung. ⇔

M<\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}
\neq 0;> (Regel von Cramer)

Speziell: M<b_1 = b_2 = b_3 = 0;>

M<\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}
\neq 0;> ⇔ [das System] hat nur die Lösung M<(0, 0, 0)>.

Folgerung: M<\vec a =
\left(\!\begin{smallmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{smallmatrix}\!\right)>, M<\vec b =
\left(\!\begin{smallmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{smallmatrix}\!\right)>, M<\vec c =
\left(\!\begin{smallmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{smallmatrix}\!\right)> sind
komplanar. ⇔

M<\lambda_1 \vec a + \lambda_2 \vec b + \lambda_3 \vec c = 0; \quad \lambda_1^2
+ \lambda_2^2 + \lambda_3^2 \neq 0;> ⇔

M<\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix} = 0;>

=head4 Anwendung[en]

=over

=item *

[Umrechnung der] Parameterform [einer] Ebene [in die] Koordinatenform

[M<E{:}\, \vec X = \vec A + \lambda \vec u + \mu \vec v;>

M<\left(\!\begin{smallmatrix}x_1-a_1\\x_2-a_2\\x_3-a_3\end{smallmatrix}\!\right)>,
M<\vec u>, M<\vec v> sind komplanar.

M<\begin{vmatrix}x_1-a_1&u_1&v_1\\x_2-a_2&u_2&v_2\\x_3-a_3&u_3&v_3\end{vmatrix}
= 0>
ist dann die Koordinatenform.]

=item *

[Umrechnung der] Koordinatenform [einer] Ebene [in die] Parameterform

=over

=item a)

M<x_2 = \lambda; \quad x_3 = \mu;>

M<x_1 = \text{[Auflösung der Koordinatenform nach }x_1\text{]};>

M<\vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}\ldots\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right) +
\lambda \left(\!\begin{smallmatrix}\ldots\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}\ldots\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item b)

Bestimme M<A, B, C \in E>, die nicht auf einer Geraden liegen.

=back

=back