=for timestamp
Mo Mär 13 17:33:56 CET 2006

=head2 Ebenen

Echt parallele Geraden mit Aufpunkt auf M<g> bestimmen eine Ebene M<E>.

M<E = \left\{ X \middle| \vec X = \vec A_l + k \vec u \text{ mit } k \in
\mathds{R} \wedge \vec A_l = \vec B + l \vec v \text{ mit } l \in \mathds{R}
\wedge \left\{ \vec u, \vec v \right\} \text{nicht kollinear} \right\}\!;>

Kürzer:

M<E{:}\, \vec X = \vec B + k \vec u + l \vec v; \quad k, l \in \mathds{R};>


=for timestamp
Mi Mär 15 18:43:33 CET 2006

=head3 Möglichkeiten der gegenseitigen Lage von Gerade und Ebene

M<E{:}\, \vec X = \vec P + k \vec u + l \vec v;>

M<g{:}\, \vec X = \vec Q + r \vec w;>

=over

=item *

M<g> und M<E> sind parallel. ⇔

Es gibt Repräsentanten der Richtungsvektoren, die in einer [gemeinsamen] Ebene
liegen.

=helper MyBook::Helper::XFig

#FIG 3.2
Landscape
Center
Metric
A4      
100.00
Single
-2
1200 2
2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 7 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 1350 2250 3150 1350
2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 7 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 3735 1530 4275 2745
2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 7 0 1 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 2250 3150 3150 3150
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 1 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 3556 1127 -449 3152
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 1 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 -450 3150 4455 3150
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 1 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 4455 3150 3555 1125
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 105 135 2295 1980 w\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 105 105 3825 2205 v\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 105 105 2655 3060 u\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 975 495 3375 lambda_1 u\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 975 3825 1395 lambda_2 v\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 1005 -270 2385 lambda_3 w\001

=hend

M<\lambda_1 \vec u + \lambda_2 \vec v + \lambda_3 \vec w = \vec 0;>

Dabei sind nicht alle M<\lambda_i>, M<i = 1, 2, 3> zugleich Null.
(M<\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 \neq 0;>)

[D.h.] M<\vec u>, M<\vec v>, M<\vec w> sind komplanar.

=item *

[M<g \subset E> ⇔ die Richtungsvektoren sind komplanar und M<\text{Aufpunkt}
\in E>]

=item *

M<\vec P + k \vec u + l \vec v = \vec Q + r \vec w;>

=over

=item *

M<E> und M<g> echt parallel ⇔ die Gleichung hat keine Lösung;

=item *

M<g \subset E> ⇔ die Gleichung hat unendlich viele Lösungen ("die Punkte von
M<g>")

=item *

M<g> und M<E> schneiden sich in einem Punkt ⇔ die Gleichung hat genau eine
Lösung;]

=back

=back


=for timestamp
Mi Mär 29 18:47:31 CEST 2006

=head3 Möglichkeiten der gegenseitigen Lage zweier Ebenen

=over

=item *

Beide Ebenen sind in vektorieller Parameterform gegeben.

M<E{:}\, \vec X = \vec A + k \vec u + l \vec v; \quad k, l \in \mathds{R}; \quad
{}F{:}\, \vec X = \vec B + m \vec w + n \vec z; \quad m, n \in \mathds{R};>

=over

=item *

M<E> und M<F> sind parallel. ⇔

M<\vec u>, M<\vec v>, M<\vec w>, M<\vec z> sind komplanar. ⇔

M<\vec u>, M<\vec v>, M<\vec w> und M<\vec u>, M<\vec v>, M<\vec z> sind
komplanar.

=item *

M<E> und M<F> ist echt parallel. ⇔

M<E \parallel F> und M<\left[\left(A \not\in F\right) \vee \left(B \not\in
E\right) \vee \left(\overrightarrow{AB}\text{, }\vec u\text{, }\vec v\text{
nicht komplanar}\right)\right]>.

=item *

M<E> und M<F> sind identisch. ⇔

M<E \parallel F> und M<\left[\left(A \in F\right) \vee \left(B \in E\right)
\vee \left(\overrightarrow{AB}\text{, }\vec u\text{, }\vec v\text{
komplanar}\right)\right]>. ⇔

M<\vec A + k \vec u + l \vec v = \vec B + m \vec w + n \vec z;> hat eine
Lösungsmenge mit zwei frei wählbaren Lösungsvariablen (Ebenengleichung).

=item *

M<E> und M<F> schneiden sich in einer Geraden. ⇔ M<E \nparallel F;>

=back

=item *

[BTW]

=over

=item *

M<E \cap F = \varnothing>: Beim Versuch, die Lösung zu finden, tritt ein
Widerspruch auf.

=item *

M<E \cap F = \text{Gerade }g>: Lösungsmenge mit einer frei wählbaren Variable.

=item *

M<E \cap F = E = F>: [Lösungsmenge mit zwei frei wählbaren Variablen.]

=back

=item *

Eine Ebene ist in Parameter-, eine in Koordinatenform gegeben.

M<E{:}\, a x_1 + b x_2 + c x_3 + d = 0; \quad
{}F{:}\, \text{[}\vec X = \vec B + m \vec w + n \vec z; \quad m, n \in \mathds{R};\text{]}>


=for timestamp
Fr Mär 31 18:35:00 CEST 2006

Einsetzen von M<x_1>, M<x_2>, M<x_3> aus der Gleichung von M<F> in die
Gleichung von M<E> ergibt eine Gleichung (∗) für M<m> und M<n>.

=over

=item *

M<E> und M<F> [sind] identisch. ⇔ M<m> und M<n> sind frei wählbar bezüglich
(∗).

=item *

M<E> und M<F> sind echt parallel. ⇔ (∗) ist nicht lösbar.

=item *

M<E> und M<F> schneiden sich [in einer Gerade]. ⇔ Die Lö­sungs­men­ge hat eine
frei wählbare Variable; M<m = m(n); n = n(m)> [XXX IMHO ist diese Notation
mathematisch unsinnig -- M<m> bzw. M<n> können nicht eine Funktion (von
M<\mathds{R}> nach M<\mathds{R}>) und eine reelle Zahl zugleich sein.]

=back


=for timestamp
Mo Apr  3 15:51:44 CEST 2006

=item *

[Beide Ebenen sind in Koordinatenform gegeben.]

M<\left.\begin{array}{@{}l}
{} E{:}\, a x_1 + b x_2 + c x_3 + d = 0; \\
{} F{:}\, \alpha x_1 + \beta x_2 + \gamma x_3 + \delta = 0;
\end{array}\right\} \text{Gleichungssystem für }x_1,x_2,x_3>

=over

=item *

[M<E> und M<F> sind identisch. ⇔ Gleichung von M<E> ist ein Vielfaches von der
von M<F>.]

=item *

[M<E> und M<F> sind echt parallel. ⇔ Die Koeffizienten von M<E> sind Vielfache
von denen von M<F>, aber M<d \neq \delta>.]

=item *

[M<E> und M<F> schneiden sich in einer Geraden. ⇔ Die Koeffizienten von M<E>
sind nicht Vielfache von denen von M<F>.]

=back

=back


=for timestamp
Sa Okt 21 17:02:33 CEST 2006

=for comment
Etwa am Mi oder Do nach dem 17.10.2006.

=head3 [Winkel zwischen Ebene und Gerade/Normal(en)form einer Ebene

M<\angle(E,g) = \angle(p,g);>

M<\vec u>, M<\vec v>: Richtungsvektoren von M<E>

M<\vec n \perp E;>

M<\vec n \cdot \vec u = \vec n \cdot \vec v = 0;>]

=helper MyBook::Helper::XFig

#FIG 3.2
Landscape
Center
Metric
A4      
100.00
Single
-2
1200 2
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 5
	 960 3690 5715 3720 7335 915 2400 930 960 3675
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 1095 2610 7515 2220
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 6195 480 4245 2400
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 3155 3710 2520 4365
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 4245 2430 3120 3720
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 6075 630 6030 2310
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 5115 1575 5100 2370
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 1 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 3990 2070 4200 2400
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 4245 2445 4140 2880
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 4245 2415 4215 210
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 10
	 6045 2160 6015 2160 5985 2160 5955 2160 5925 2175 5910 2205
	 5895 2235 5880 2265 5880 2295 5880 2325
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 12
	 5115 2250 5085 2235 5055 2235 5025 2235 4995 2235 4965 2235
	 4950 2265 4935 2295 4935 2325 4935 2355 4935 2385 4935 2355
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 1
	 5025 2325
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 3
	 5970 2265 5940 2250 5970 2265
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 150 105 6300 465 g\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 150 105 7635 2250 p\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 120 4995 1590 P\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 705 3480 210 Vektor n\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 705 3240 2070 Vektor u\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 705 4125 3090 Vektor v\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 150 5100 2565 Q\001

=hend

M<X \in E;> ⇔ M<\vec n \cdot \overrightarrow{AX} = 0;>

M<\vec n \cdot \left(\vec X - \vec A\right) = 0;> (vektorielle Normalform einer
Ebene)

M<\left(\!\begin{smallmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{smallmatrix}\!\right)
\left[\left(\!\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{smallmatrix}\!\right) -
\left(\!\begin{smallmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{smallmatrix}\!\right)\right] = n_1
x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 \underbrace{- \left(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3
a_3\right)}_{n_0} = n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 + n_0 = 0;> (skalare
Normalform/Koordinatenform einer Ebene)

M<\vec n \cdot \overrightarrow{AX} E<gt> 0;> → M<\vec X> liegt bezüglich M<\vec
n> im oberen (positiven) Halbraum

=for timestamp
Mi Dez  6 16:25:51 CET 2006

"na langsam wird halt doch sichtbar, dass die Mathematik eine
Universalwissenschaft ist"


=for timestamp
Sa Dez  9 17:00:36 CET 2006

=head4 [Hesse-Normierungen]

=head5 1. Hesse-Normierung für M<\text{Ursprung} \not\in E>

Ursprung im unteren Halbraum, d.h. M<\vec n \vec A E<gt> 0>.

Senkrechte Projektion von M<\overrightarrow{AX}> auf die Richtung von M<\vec n>
ergibt den Abstand von M<X> zur Ebene.

M<d(X,E) = \left|\overrightarrow{AX}\right| \underbrace{\left|\frac{\vec
n}{\left|\vec n\right|}\right|}_{1} \cdot \cos \underbrace{\angle\!\left(\vec n,
\overrightarrow{AX}\right)}_{\angle\!\left(\frac{\vec n}{\left|\vec n\right|},
\overrightarrow{AX}\right)} = \overrightarrow{AX} \cdot \vec n^0 = \vec n^0
\cdot \left(\vec X - \vec A\right) E<gt> 0> für M<X> im oberen Halbraum.


=for timestamp
Mo Dez 11 17:00:16 CET 2006

M<d(X,E) = \left|\overbrace{\underbrace{\vec n_0}_{\text{HESSEvektor}} \cdot
\overrightarrow{AX}}^{\text{HESSEterm (HT)}}\right|;>

=head5 2. Hesse-Normierung

Der Normalenvektor soll die Länge M<1> haben.

M<HT(X) = 0;> ⇔ M<X \in E;>

M<HT(X) E<lt> 0;> ⇔ M<X> und Ursprung liegen im gleichen Halbraum

=head4 HESSEnormalform einer Ebene (HNF)

M<HT(X) = \vec n_0 \cdot \left(\vec X - \vec A\right) = \vec n_0 \vec X - \vec
n_0 \vec A = 0> mit M<\left|\vec n_0\right| = 1> und M<\vec n_0 \cdot \vec A
E<gt> 0;>

=head5 Umschreiben der Normalform in die HESSEnormalform

[Normalform:] M<\vec n \vec X - \vec n \vec A = 0;>

[HESSEnormalform:] M<\dfrac{\vec n \vec X - \vec n \vec A}{\left|\vec n\right|
\cdot \operatorname{sgn} \vec n \vec A} = 0;>