=for timestamp
Mo Okt 16 17:54:06 CEST 2006

=head2 Kreise

=head3 Satz des Thales

"na du musst nur 'ne längere Zeit als Photon leben, dann wird's dir schon klar
werden..."

"glaub mir, ich spreche aus Erfahrung"

"Du setzt dich aufs Fahrrad, fährst so schnell, dass es dunkel wird, und
schaust dann auf den Tacho"

=helper MyBook::Helper::XFig

#FIG 3.2
Landscape
Center
Metric
A4      
100.00
Single
-2
1200 2
1 4 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 2250 2025 1125 1125 1350 2700 3150 1350
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 1350 1350 23 23 1350 1350 1373 1350
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 3150 1350 23 23 3150 1350 3173 1350
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 1350 2700 23 23 1350 2700 1373 2700
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 2250 2025 23 23 2250 2025 2273 2025
2 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 5
	 1350 2700 1350 1350 3150 1350 1350 2700 1350 2700
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 135 1125 2940 A\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 120 3270 1380 B\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 135 1185 1320 C\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 165 2280 2205 M\001

=hend

Für ein Dreieck M<ABC> sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

=over

=item (1)

Der Innenwinkel bei M<C> ist M<90^\circ>.

=item (2)

M<C> liegt auf dem Kreis über M<\left[AB\right]>.

=back

Beweis:

M<M> sei der Mittelpunkt von M<\left[AB\right]>.

M<\renewcommand{\arraystretch}{1.5}\begin{array}{rcll}
{} && \text{(1)} & \Leftrightarrow \\
{} \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} &=& 0; \quad & \Leftrightarrow \\
{} \left(\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{MA}\right) \cdot
{}   \left(\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{MB}\right) &=& 0; \quad & \Leftrightarrow \\
{} \left(\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{MA}\right) \cdot
{}   \left(\overrightarrow{CM} - \overrightarrow{MA}\right) &=& 0; \quad & \Leftrightarrow \\
{} {\overrightarrow{CM}}^2 - {\overrightarrow{MA}}^2 &=& 0; \quad & \Leftrightarrow \\
{} {\overrightarrow{CM}}^2 &=& {\overrightarrow{MA}}^2; \quad & \Leftrightarrow \\
{} \left|\overrightarrow{CM}\right|^2 &=& \left|\overrightarrow{MA}\right|^2; \quad & \Leftrightarrow \\
{} \left|\overrightarrow{CM}\right| &=& \left|\overrightarrow{MA}\right|; \quad & \Leftrightarrow \text{(2)}
\end{array}>