=for timestamp
Di Mai  2 17:28:37 CEST 2006

=head2 Vektoren

=head3 Lineare Abhängigkeit

Die Vektoren M<\vec a_1>, M<\vec a_2>, ..., M<\vec a_n> (M<n \in \mathds{N}>)
heißen linear unabhängig. ⇔

Aus M<\lambda_1 \vec a_1 + \lambda_2 \vec a_2 + \cdots + \lambda_n \vec a_n =
\vec 0;>

folgt: M<\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 0;>

(D.h. mit M<\vec a_1>, M<\vec a_2>, ... M<\vec a_n> lässt sich nur die triviale
Nullsumme bilden.)

[Speziell für] M<n = 2>: M<\left\{ \vec a_1, \vec a_2 \right\}> [ist] linear
unabhängig. ⇔ M<\vec a_1>, M<\vec a_2> nicht kollinear.

[Ist bereits ein Nullvektor in einer Menge, die man auf lineare Ab­hän­gig­keit
überprüft, so ist die Menge linear abhängig. (Vgl. mit Multiplikation mit
M<0>!)]

=head3 Basis eines Vektorraums [siehe B. S. 126]

M<\vec b_1>, M<\vec b_2>, ..., M<\vec b_n> sei Basis von M<V> und M<v \in V>.

Dann existiert ein eindeutiges M<n>-Tupel M<(v_1, v_2, \ldots, v_n)> [die
Koordinaten] mit:

M<\vec v = v_1 \vec b_1 + v_2 \vec b_2 + \cdots v_n \vec b_n;> [wobei die M<v_i
\vec b_i> Komponenten sind.]

=head4 [Beweis der Koordinateneindeutigkeit]

Annahme: Es existiert ein weiteres M<n>-Tupel M<(v_1', v_2', \ldots, v_n')> mit
dieser Eigenschaft.

M<\vec v = v_1' \vec b_1 + v_2' \vec b_2 + \cdots v_n' \vec b_n;>

M<\vec 0 = \left(v_1 - v_1'\right) \vec b_1 + \left(v_2 - v_2'\right) \vec b_2
+ \cdots \left(v_n - v_n'\right) \vec b_n;>

Aufgrund der linearen Unabhängigkeit von M<\left\{ b_1, b_2, \ldots, b_n
\right\}> folgt: M<v_i - v_i' = 0>, also M<v_i = v_i'>.


=for timestamp
Mo Okt  2 19:19:39 CEST 2006

=head3 Das Skalarprodukt

M<\vec a \cdot \vec b =
\left(\!\begin{smallmatrix}a_1\\a_2\end{smallmatrix}\!\right) \cdot
\left(\!\begin{smallmatrix}b_1\\b_2\end{smallmatrix}\!\right) := a_1 b_1 + a_2
b_2;>

Zwei Vektoren [die beide nicht der Nullvektor sind] stehen genau dann
aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt M<0> ist.

=head4 Wie lässt sich aus den Koordinaten zweier Vektoren der Winkel zwischen
ihnen berechnen?

M<\vec a \vec b = \left|\vec a\right| \left|\vec b\right| \cdot \cos \varphi;>

M<\left|\vec a - \vec b\right|^2 = \left|\vec a\right|^2 + \left|\vec b\right|^2
- 2 \left|\vec a\right| \left|\vec b\right| \cdot \cos \varphi;>

M<\left(\vec a - \vec b\right)^2 = \vec a^2 + \vec b^2 - 2 \left|\vec a\right|
\left|\vec b\right| \cdot \cos \varphi;>

M<\vec a^2 - 2 \vec a \vec b + \vec b^2 = \vec a^2 + \vec b^2 - 2 \left|\vec
a\right|
\left|\vec b\right| \cdot \cos \varphi;>

M<\frac{\vec a \vec b}{\left|\vec a\right| \left|\vec b\right|} = \cos
\varphi;>


=for timestamp
Fr Nov 10 16:33:04 CET 2006

=head3 Vektorprodukt

=over

=item *

Definition: vgl. B. S. 238

=item *

Was ist M<\vec a \times \vec b>, wenn M<\vec a> und M<\vec b> kollinear sind?

[Kollinearität zweier Vektoren, die beide nicht der Nullvektor sind ⇔ M<\vec a
\times \vec b = \vec 0;>]

=item *

Geometrische Eigenschaften: vgl. B. S. 240

=helper MyBook::Helper::XFig

#FIG 3.2
Landscape
Center
Metric
A4      
100.00
Single
-2
1200 2
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 900 2250 3600 2250
2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 3
	 1350 1350 4050 1350 3600 2250
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 1350 1350 1350 2250
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 900 2250 1350 1350
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 510 2340 1845 |a x b|\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 105 105 2340 2445 a\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 105 975 1770 b\001

=hend

M<\left|\vec a \times \vec b\right| = \left|\vec a\right| \cdot \left|\vec b\right|
\sin \angle(\vec a,\vec b);>

=item *

Rechenregeln:

=over

=item *

M<\vec a \times \vec b = -\vec b \times \vec a;>

=item *

M<\vec a \times \left(\vec b + \vec c\right) = \vec a \times \vec b + \vec a
\times \vec c;>

=item *

M<\lambda \cdot \left(\vec a \times \vec b\right) = \lambda \vec a \times \vec
b = \vec a \times \lambda \vec b;>

=back

=item *

Spatvolumen: M<\left|\left(\vec a \times \vec b\right) \cdot \vec c\right| =
\left|\vec a \cdot \left(\vec b \times \vec c\right)\right|;>

[Für M<\left|\vec n\right| = 1> gilt: M<\vec a \cdot \vec n = \left|\vec
a\right| \underbrace{\left|\vec n\right|}_1 \cdot \cos \angle(\vec a,\vec n) =
\left|\vec a\right| \cos \angle(\vec a,\vec n) = \vec n_{\vec a};>]

=back