=for timestamp
Mi Sep 14 15:19:05 CEST 2005

=head1 Hausaufgaben

=head2 1. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 14, Aufgabe 1

Gib' drei verschiedene Stammfunktionen an zu

=over

=item a)

M<\mathrm{f}\colon x \mapsto x^5;> ⇒

M<\mathrm{F}\colon x \mapsto \frac{1}{6} x^6 + C;>

=item b)

M<\mathrm{f}\colon x \mapsto \sin x;> ⇒

M<\mathrm{F}\colon x \mapsto -\cos x + C;>

=item c)

M<\mathrm{f}\colon x \mapsto 3x^2 - 7x + 19;> ⇒

M<\mathrm{F}\colon x \mapsto x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 19x + C;>

=item d)

M<\mathrm{f}\colon x \mapsto 2\sin x + \cos x;> ⇒

M<\mathrm{F}\colon x \mapsto -2\cos x + \sin x + C;>

=item e)

M<\mathrm{f}\colon x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}};> ⇒

M<\mathrm{F}\colon x \mapsto 2x^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C;>

=item f)

M<\mathrm{f}\colon x \mapsto 0;> ⇒

M<\mathrm{F}\colon x \mapsto C;>

=back

M<D_{\mathrm{f}}> sei jeweils maximal gewählt.


=head3 Analysis-Buch Seite 14, Aufgabe 2

Berechne

=over

=item a)

M<\int x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}x^2 + C;>

=item b)

M<\int \left(x^2 + 1\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{3}x^3 + x + C;>

=item c)

M<\int \left(3x^2 + 2x + 1\right) \mathrm{d}x = x^3 + x^2 + x + C;>

=item d)

M<\int \left(\cos x - \sin x\right) \mathrm{d}x = \sin x + \cos x + C;>

=item e)

M<\int \mathrm{d}x = x + C;>

=item f)

M<\int 0 \,\mathrm{d}x = C;>

=back


=head3 Analysis-Buch Seite 14, Aufgabe 3

Bestimme diejenige Stammfunktion von M<\mathrm{f}>, deren Graph durch M<P>
verläuft.

=over

=item a)

M<\mathrm{f}\colon x \mapsto \frac{1}{2}x; \quad P(-2, 4);> ⇒

M<\mathrm{F}_C(x_P) = y_P; \Rightarrow \frac{1}{4}x_P^2 + C = y_P; \Rightarrow
C = y_P - \frac{1}{4}x_P^2 = 4 - 1 = 3;> ⇒

M<\mathrm{F}_3\colon x \mapsto \frac{1}{4}x^2 + 3;>

=item b)

M<\mathrm{f}\colon x \mapsto x^2 - 2x - 1; \quad P(3, -2);> ⇒

M<\mathrm{F}_C(x_P) = y_P; \Rightarrow \frac{1}{3}x_P^3 - x_P^2 - x_P + C =
y_P; \Rightarrow C = y_P - \frac{1}{3}x_P^3 + x_P^2 + x_P = 1;> ⇒

M<\mathrm{F}_1\colon x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - x^2 - x + 1;>

=item c)

M<\mathrm{f}\colon x \mapsto \cos x + 1; \quad P(\pi, \pi);> ⇒

M<\mathrm{F}_C(x_P) = y_P; \Rightarrow \sin x_P + x_P + C =
y_P; \Rightarrow C = y_P - \sin x_P - x_P = \pi - 0 - \pi = 0;> 

M<\mathrm{F}_0\colon x \mapsto \sin x + x;>

=item d)

M<\mathrm{f}\colon x \mapsto 0; \quad P(1980, 1980);> ⇒

M<\mathrm{F}_{1980}\colon x \mapsto 1980;>

=back