=for timestamp
Mi Okt 12 17:16:00 CEST 2005

=head2 10. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 33

M<\mathrm{f}_a(x) := x^3 - ax; \quad D_{\mathrm{f}_a} = \mathds{R}; \quad a
\geq 0;>

=over

=item a)

Diskutiere die Kurvenschar (Nullstellen, Extrema, Wendepunkte) und zeichne die
Graphen von M<\mathrm{f}_3> und M<\mathrm{f}_0>.

M<\mathrm{f}_a(x) = x^3 - ax = x\left(x + \sqrt{a}\right)\left(x -
\sqrt{a}\right);>

⇒ M<N_1(0,0); \quad N_2(-\sqrt{a},0); \quad N_3(\sqrt{a},0);>

M<\mathrm{f}_a'(x) = 3x^2 - a = 3\left(x + \sqrt{\frac{a}{3}}\right)\left(x -
\sqrt{\frac{a}{3}}\right);>

⇒ M<\begin{cases}
{} P_{\text{HOP}}\!\left(-\sqrt{\frac{a}{3}}, -\left(\frac{a}{3}\right)^{\frac{3}{2}}
+ a\sqrt{\frac{a}{3}}\right), \quad P_{\text{TIP}}\!\left(\sqrt{\frac{a}{3}},
\left(\frac{a}{3}\right)^{\frac{3}{2}} - a\sqrt{\frac{a}{3}}\right) &
\text{für } a \neq 0; \\
{} P_{\text{TEP}}\!\left(0,0\right) & \text{für } a = 0;
\end{cases}>

M<\mathrm{f}_a''(x) = 6x;>

⇒ M<P_{\text{WEP}}(0,0);>

=item b)

M<\mathrm{t}_a> sei die Tangente an M<G_{\mathrm{f}_a}> im Punkt M<B(-1, b)>.
Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen M<\mathrm{t}_a> und
M<G_{\mathrm{f}_a}> für M<a = 3>, M<a = 0> und allgemein.

⇒ M<\dfrac{\mathrm{t}_a(x) - \mathrm{f}_a(-1)}{x + 1} = \mathrm{f}_a'(-1) = 3 -
a; \Rightarrow \mathrm{t}_a(x) = x\left(3 - a\right) + 2;>

M<\mathrm{t}_a(d) = \mathrm{f}_a(d); \Rightarrow 0 = d^3 - 3d - 2 = \left(d -
2\right) \left(d + 1\right)^2;>

M<A = \int\limits_{-1}^2 \mathrm{t}_a(x) \,\mathrm{d}x - \int\limits_{-1}^2
\mathrm{f}_a(x) \,\mathrm{d}x = \ldots = \frac{27}{4};>

=back

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -3.000000 : 3.000000 ]
set yrange [ -3.000000 : 9.000000 ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 3.000000

# Function definitions
func0(x, k) = x**3. - k*x
func1(x, k) = x*(3.-k) + 2.

# Plotting
plot func0(x, 0.000000) t "f_a" w l lt 1, func0(x, 3.000000) t "" w l lt 1, func1(x, 0.000000) t "t_a" w l lt 2, func1(x, 3.000000) t "" w l lt 2

=hend


=for timestamp
Mo Okt 17 15:49:16 CEST 2005

"Einer vons uns beiden ist doof"

"Gehen können so viel wie sie wollen *rausdrück*"


=for timestamp
Di Okt 18 18:38:01 CEST 2005

Elementargeometrische Lösung von b) für M<a = 3>:

M<A = 1 \cdot 2 - \int\limits_{-1}^0 \mathrm{f}_3(x) \,\mathrm{d}x + 2 \cdot 2
- \int\limits_{\sqrt{3}}^2 \mathrm{f}_3(x) \,\mathrm{d}x +
\int\limits_0^{\sqrt{3}} -\mathrm{f}_3(x) \,\mathrm{d}x = 2 - \frac{5}{4} + 4
- \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{27}{4};>