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Di Okt 10 17:59:33 CEST 2006

=head2 102. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 215, Aufgabe 3c

Zeige, dass die Ortsvektoren M<\vec A>, M<\vec B> und M<\vec C> einen Würfel
aufspannen.

M<\vec A =
\left(\!\begin{smallmatrix}a\\a+1\\a\left(a+1\right)\end{smallmatrix}\!\right)\!;
\quad \vec B =
\left(\!\begin{smallmatrix}a+1\\-a\left(a+1\right)\\a\end{smallmatrix}\!\right)\!;
\quad \vec C =
\left(\!\begin{smallmatrix}a\left(a+1\right);\\a\\-a-1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\left|\vec A\right| = \left|\vec B\right| = \left|\vec C\right| = \sqrt{a^2 +
\left(a^2 + 2a + 1\right) + \left(a^3 + 2a^2 + a\right)} = \sqrt{a^3 + 4a^2 +
3a + 1};>

M<\vec A \cdot \vec B = \vec B \cdot \vec C = \vec C \cdot \vec A = a \left(a +
1\right) - \left(a + 1\right)^2 a + a^2 \left(a + 1\right) = a^2 + a - a^3 -
2a^2 - a + a^3 + a^2 = 0;>

=head3 Geometrie-Buch Seite 215, Aufgabe 4b

Für welche Werte von M<u> ist M<\vec a \perp \vec b>, M<\vec a \perp \vec b>,
M<\vec b \perp \vec c>?

M<\vec a = \left(\!\begin{smallmatrix}u+1\\2-u\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!;
\quad \vec b =
\left(\!\begin{smallmatrix}u\\u+2\\u+4\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \vec
c = \left(\!\begin{smallmatrix}2-3u\\u\\2+2u\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\vec a \vec b = u^2 + u - \left(u^2 - 4\right) - u - 4 = 0;>

M<\vec b \vec c = 2u - 3u^2 + u^2 + 2u + 2u + 2u^2 + 8 + 8u = 14u + 8 = 0;> ⇔
M<u = -\frac{4}{7};>

M<\vec a \vec c = 2u - 3 u^2 + 2 - 3u + 2u - u^2 - 2 - 2u = -u - 4u^2 = 0;> ⇔
M<u_1 = 0; \quad u_2 = -\frac{1}{4};>

=head3 Geometrie-Buch Seite 216, Aufgabe 10b

Berechne die Winkel des Dreiecks M<ABC>.

M<A(1,-6,-6); \quad B(2,2,-2); \quad C(0,-2,2);>

M<\frac{\overrightarrow{AC}
\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|
\left|\overrightarrow{AB}\right|} = \frac{-1 + 32 + 32}{\sqrt{1^2 + 4^2 + 8^2}
\sqrt{1^2 + 8^2 + 4^2}} = \frac{63}{81} = \frac{7}{9} = \cos\alpha;>

M<-\frac{\overrightarrow{BC}
\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{BC}\right|
\left|\overrightarrow{AB}\right|} = -\frac{-2 - 32}{\sqrt{\left(-2\right)^2 +
\left(-4\right)^2 + 0^2}
\sqrt{1^2 + 8^2 + 4^2}} = \frac{34}{9 \sqrt{20}} = \cos\beta;>

M<\frac{\overrightarrow{AC}
\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|
\left|\overrightarrow{BC}\right|} = \frac{2 - 16}{\sqrt{1^2 + 4^2 + 8^2}
\sqrt{\left(-2\right)^2 +
\left(-4\right)^2 + 0^2}} = \frac{-14}{9 \sqrt{20}} = \cos\gamma;>

=head3 Geometrie-Buch Seite 217, Aufgabe 16a

M<g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)
+ \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
h{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) +
\mu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-5\\10\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

Berechne den Schittwinkel von M<g> und M<h>.

M<\left|\frac{\left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right)
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-5\\10\end{smallmatrix}\!\right)}{\left|\left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right)\right|
\left|\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-5\\10\end{smallmatrix}\!\right)\right|}\right|
= \left|\frac{1 - 10 + 30}{\sqrt{14} \sqrt{126}}\right| = \cos\varphi;>