=for timestamp
Do Okt 12 18:04:37 CEST 2006

=head2 103. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 231, Aufgabe 15a

Untersuche, ob M<g> und M<h> windschief sind, berechne gegebenenfalls den
Abstand M<d(g,h)> und die Endpunkte der gemeinsamen Lotstrecke.

M<g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}-4\\1\\7\end{smallmatrix}\!\right)
+ \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-3\\-1\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;
\quad h{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}4\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}4\\3\\-2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\vec g> und M<\vec h> sind nicht kollinear.

Gleichsetzen von M<\vec X_g> und M<\vec X_h> bringt:

M<\begin{array}{rcrcr}
{}  -3 \lambda &-&  4 \mu &=&  8; \\
{}    -\lambda &-&  3 \mu &=&  0; \\
{}   4 \lambda &+&  2 \mu &=& -7;
\end{array}>

Auflösen bringt Widerspruch für M<\mu> (M<\frac{7}{10} \neq \frac{8}{5}>), also
sind M<g> und M<h> windschief.

M<\overrightarrow{X_g X_h} \cdot \vec g = -3 \left(8 + 4\mu + 3\lambda\right)
-\left(3\mu + \lambda\right) + 4 \left(-7 - 2\mu - 4\lambda\right) = -52 -
23\mu -26\lambda \stackrel{!}{=} 0;>

M<\overrightarrow{X_g X_h} \cdot \vec h = 4 \left(8 + 4\mu + 3\lambda\right)
+ 3 \left(3\mu + \lambda\right) - 2 \left(-7 - 2\mu - 4\lambda\right) = 46 + 29 \mu + 23
\lambda \stackrel{!}{=} 0;>

Auflösen bringt für M<\lambda>: M<\lambda = \frac{-46 - 29\mu}{23};>

Einsetzen in die erste Gleichung bringt: M<(\mu,\lambda) = (0,-2);>

M<\vec X_g(-2) =
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\3\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \vec
X_h(0) = \left(\!\begin{smallmatrix}4\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\left|\overrightarrow{X_g(-2) X_h(0)}\right| = 3;>

=head3 Geometrie-Buch Seite 223, Aufgabe 16

M<g{:}\, \vec X =
\lambda \left(\!\begin{smallmatrix}6\\-10\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
{}h{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\16\\7\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}-8\\10\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<g> ist die Achse eines Zylinders M<Z> mit Radius M<11>.

Berechne die Schnittpunkte von M<Z> und M<h>.

Idee: Beschreibung eines jeden Raumpunkts durch ein Koordinatensystem, das von
M<g> und zwei anderen Geraden aufgespannt wird.

=over

=item *

I<Berechnung eines auf M<\vec g> senkrecht stehenden Vektors.>

M<\vec g \vec a = 6 a_1 - 10 a_2 + 3 a_3 \stackrel{!}{=} 0;>

Eine Gleichung, drei Unbekannte → zwei Freiheitsgrade

Wahl von M<a_1> zu M<1>. Dann Auflösen nach M<a_2>:

M<a_2 = \frac{3 a_3 + 6}{10};>

Wahl von M<a_3> zu M<1>. Dann ist M<\vec a>:

M<\vec a =
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\\frac{9}{10}\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

Um Brüche zu vermeiden, "erweitern" wir M<\vec a>:

M<\vec a = \left(\!\begin{smallmatrix}10\\9\\10\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item *

I<Berechnung eines zweiten Vektors, der auf M<\vec g> senkrecht
steht und nicht zu M<\vec a> kollinear ist.>

Wahl von M<b_3> zu M<2>. Dann ist M<\vec b> (erweitert):

M<\vec b = \left(\!\begin{smallmatrix}5\\6\\10\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item *

I<Aufstellung der Gleichung für die zu M<\vec g> senkrechten Flächen mit
Aufpunkt M<\vec X_g>.>

M<\Lambda{:}\, \vec X = \vec X_g + \alpha \vec a + \beta \vec b = \lambda
\left(\!\begin{smallmatrix}-6\\10\\3\end{smallmatrix}\!\right) + \alpha
\left(\!\begin{smallmatrix}10\\9\\10\end{smallmatrix}\!\right) + \beta
\left(\!\begin{smallmatrix}5\\6\\10\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item *

I<Zusätzliche Bedingungen, damit M<\Lambda> zu einem Zylinder eingeschränkt
wird.>

M<\left|\alpha \vec a + \beta \vec b\right| = 11;>

M<\left(10\alpha + 5\beta\right)^2 + \left(9\alpha + 6\beta\right)^2 +
\left(10\alpha + 10\beta\right)^2 = 281 \alpha^2 + 161 \beta^2 + 408
\alpha\beta = 121;>

=item *

I<Zusammenfassung der Gleichungen.>

M<\begin{array}{rcrcrcrcr}
{}   6 \lambda &+& 10 \alpha &+&  5 \beta &+&   8 \mu &=& -1;  \\
{} {-10} \lambda &+&  9 \alpha &+&  6 \beta &-&  10 \mu &=&  16; \\
{}   3 \lambda &+& 10 \alpha &+& 10 \beta &-&     \mu &=&   7;
\end{array}>

Sowie:

M<281 \alpha^2 + 161 \beta^2 + 408 \alpha\beta = 121;>

=item *

I<Auflösen.>

=begin comment

(%i28) solve([6*lambda+10*alpha+5*beta+8*mu+1=0,-10*lambda+9*alpha+6*beta-10*mu-16=0,3*lambda+10*alpha+10*beta-mu-7=0,281*alpha^2+161*beta^2+408*alpha*beta-121=0]);

                                        7          8
(%o28) [[LAMBDA = 1, MU = - 2, BETA = - -, ALPHA = -],
                                        5          5

                                                                 1          4
                                 [LAMBDA = 0, MU = - 1, BETA = - -, ALPHA = -]]
                                                                 5          5

=end comment

M<\begin{array}{ccccc}
{} \lambda & \mu & \alpha & \beta & \text{Schnittpunkt} \\\hline
{} 0       & -1  & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} & (7,6,6) \\
{} 1       & -2  & \frac{8}{5} & -\frac{7}{5} & (15,-4,5)
\end{array}>

=back


=for timestamp
So Okt 15 16:19:29 CEST 2006

Alternativ, viel einfacher:

M<\overrightarrow{QP} \cdot \vec g = 0; \quad {\overrightarrow{QP}}^2 = 121;
\quad> mit M<\vec Q = \vec X_h> und M<\vec P = \vec X_g;>

"[augenscheinlich] wisst ihr schon, dass es gefährlich sein kann, wenn man ins
Gravitationszentrum fliegt..."