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Sa Okt 14 15:33:30 CEST 2006

=head2 104. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 232, Aufgabe 17

M<g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\17\\5\end{smallmatrix}\!\right)
+ \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}1\\8\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
h{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}-7\\9\\16\end{smallmatrix}\!\right)
+ \mu \left(\!\begin{smallmatrix}-3\\4\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=over

=item a)

Die Kugel hat ihren Mittelpunkt auf M<h> und berührt M<g>.

Bestimme ihren Mittelpunkt M<M> und Radius M<r> in Abhängigkeit von M<\mu>.

Für welchen Wert von M<\mu> ist der Radius minimal?

M<M \in h; \quad X_K \in g; \quad \left|\overrightarrow{X_K M}\right| = r; \quad
\overrightarrow{X_K M} \cdot \vec g = 0;>

Auflösen gibt für M<\lambda>: M<\lambda = \frac{5}{9} \mu - \frac{1}{3};>

M<\vec X_K = \vec X_g(\lambda) =
\left(\!\begin{smallmatrix}\frac{5}{9}\mu - \frac{1}{3}\\\frac{40}{9}\mu +
\frac{43}{3}\\\frac{20}{9}\mu + \frac{11}{3}\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<r = \overrightarrow{X_K M} = \sqrt{16 \mu^2 + 96 \mu + 225};>

M<\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} {\overrightarrow{X_K M}}^2 = 32 \mu + 96
\stackrel{!}{=} 0;> ⇔ M<\mu = -3;>

=item b)

Bestimme Mittelpunkt M<M> und Radius M<r> der kleinsten Kugel, deren
Mittelpunkt auf M<h> liegt und die M<g> als Tangente hat.

M<\mu = -3;>

M<\vec X_K = \vec X_g(\lambda) = \vec X_g\!\left(\frac{5}{9}\left(-3\right) -
\frac{1}{3}\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}-2\\1\\-3\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\vec M = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\-3\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<r = \sqrt{16 \left(-3\right)^2 + 96 \left(-3\right) + 255} = 9;>

=item c)

Bestimme Mittelpunkt und Radius der kleinsten Kugel, die M<h> und M<g> als
Tangenten hat.

Ansatz: M<\overrightarrow{QP} \cdot \vec g = \overrightarrow{QP} \cdot \vec h =
0;> (Bei der kleinsten Kugel sind M<\overrightarrow{MQ}> und
M<\overrightarrow{MP}> (anti-)parallel.)

M<r = 4{,}5; \quad \vec M =
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\-1\\1{,}5\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

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