=for timestamp
Do Okt 19 15:58:47 CEST 2006

=head2 107. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 230, Aufgabe 12

M<A(29,-5,-4); \quad B(-3,-27,12); \quad M(16,11,-8); \quad P(4,8,19); \quad
Q(1,-19,31);>

M<g> ist die Gerade durch M<A> und M<B>.

=over

=item a)

Bestimme den Punkt M<N> auf M<g>, der M<P> am nächsten liegt.

M<g{:}\, \vec X = \vec A + \lambda \overrightarrow{A B};>

M<\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{PN}\right|^2 =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{PX(\lambda)}\right|^2 =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\left(\!\begin{smallmatrix}25\\-13\\-23\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-32\\-22\\16\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 =
{}\\ {\qquad} =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left[1764 \lambda^2 - 1764 \lambda + 1323\right] =
{}3528 \lambda - 1764 \stackrel{!}{=} 0;>

⇔ M<\lambda(N) = \frac{1}{2};>

⇔ M<\vec N = \vec X_g\!\left(\frac{1}{2}\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}13\\-16\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item b)

M<g> ist Tangente einer Kugel um M<M>.

Berechne den Berührpunkt M<T> und den Kugelradius M<r_b>.

M<\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{MT}\right|^2 =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{MX(\lambda)}\right|^2 =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\left(\!\begin{smallmatrix}13\\-16\\4\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-32\\-22\\16\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 =
{}\\ {\qquad} =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left[1764 \lambda^2 + 441\right] =
{}3528 \lambda \stackrel{!}{=} 0;>

⇔ M<\lambda(T) = 0; \quad \vec T = \vec A>

⇔ M<r_b = \sqrt{441} = 21;>

=item c)

Berechne Radius M<r_c> und Mittelpunkt M<M_c> der kleinsten aller Kugeln, die
durch M<M> gehen und deren Mittelpunkte auf M<g> liegen.

M<\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{M M_c}\right|^2 =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{M X(\lambda)}\right|^2 =
{}3528 \lambda \stackrel{!}{=} 0;>

⇔ M<\lambda(M_c) = 0; \quad \vec M_c = \vec A;>

⇔ M<r_c = 21;>

=item d)

Berechne Radius M<r_d> und Mittelpunkt M<M_d> der kleinsten aller Kugeln, die
durch M<M> gehen und M<g> berühren. Berechne den Be­rühr­punkt M<T>.

Siehe a).

=item e)

Berechne Radius M<r_e> und Mittelpunkt M<M_e> der kleinsten aller Kugeln, die
durch M<Q> gehen und M<g> als Zentrale haben.

Berechne die Schnittpunkte von M<g> und dieser Kugel; was für ein Dreieck
bilden der Ursprung und die Schnittpunkte?

M<\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{Q M_e}\right|^2 =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\overrightarrow{Q X(\lambda)}\right|^2 =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left|\left(\!\begin{smallmatrix}28\\14\\-35\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-32\\-22\\16\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 =
{}\\ {\qquad} =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \left[1764 \lambda^2 - 3528 \lambda + 2205\right] =
{}3528 \lambda - 3528 \stackrel{!}{=} 0;>

⇔ M<\lambda = 1; \quad \vec M_e = \vec X(1) =
\left(\!\begin{smallmatrix}-3\\-27\\12\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

⇔ M<r_e = \sqrt{1674 - 3528 + 2205} = \sqrt{441} = 21;>

M<g'{:}\, \vec X = \vec A + \lambda {\overrightarrow{AB}}^0;>

Schnittpunkte von M<g> mit dem Kreis ergeben sich durch M<\vec X_{g'}(\pm r_e)>
zu M<S_1 = (-19,-38,20)> und M<S_2 = (13,-16,4)>.

Das Dreieck gebildet durch Ursprung und den zwei Schnittpunkten ist
rechtwinklig: M<\left|\overrightarrow{0 S_1}\right|^2 - \left|\overrightarrow{0
S_2}\right|^2 = 2205 - 441 = 1764 = \left|\overrightarrow{S_1 S_2}\right|^2;>

=item f)

Bestimme eine Gleichung der Normalen M<n> von M<g> durch M<Q>.

M<n{:}\, \vec X = \vec M_e + \mu \overrightarrow{M_e Q} =
\left(\!\begin{smallmatrix}-3\\-27\\12\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}4\\8\\19\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item g)

M<Q> an M<g> gespiegelt ergibt M<Q'>. Berechne M<Q'>.

M<\vec Q' = \vec X_n(-1) =
\left(\!\begin{smallmatrix}-7\\-35\\-7\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=back

=head3 Geometrie-Buch Seite 230, Aufgabe 13

M<g> ist die Gerade durch M<A(8,13,3)> und M<B(14,20,-3)>, M<h> ist die Gerade
durch M<C(10,19,12)> und M<D(-8,-2,30)>.

=over

=item a)

Berechne den Abstand M<d(g,h)> von M<g> und M<h>.

M<g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}8\\13\\3\end{smallmatrix}\!\right)
+ \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}6\\7\\-6\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<h{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}10\\19\\12\end{smallmatrix}\!\right) + \mu'
\left(\!\begin{smallmatrix}-18\\-21\\18\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}10\\19\\12\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}-6\\-7\\6\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\overrightarrow{X_g X_h} =
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\6\\9\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}-6\\-7\\6\end{smallmatrix}\!\right) - \lambda
\left(\!\begin{smallmatrix}6\\7\\-6\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\overrightarrow{X_g X_h} \cdot \vec g = \overrightarrow{X_g X_h} \cdot \vec h
= 0;>

M<\overrightarrow{X_g X_h} \cdot \vec g = \left(12 - 36 \mu - 36 \lambda\right)
+ \left(42 - 49 \mu - 42 \lambda\right) + \left(-54 - 36 \mu - 36
\lambda\right) = -23 \mu - 23 \lambda = 0;> ⇔ M<\mu = - \lambda;>

M<\left|\overrightarrow{X_g(\lambda) X_h(-\lambda)}\right| =
\left|\left(\!\begin{smallmatrix}2\\6\\9\end{smallmatrix}\!\right)\right| =
\sqrt{4 + 36 + 81} = 11;>

=item b)

Bestimme eine Gleichung der Mittelparallelen M<m> von M<g> und M<h>.

M<m{:}\, \vec X = \vec X_g + \frac{\overrightarrow{X_g(\lambda)
X_h(-\lambda)}}{2} =
\left(\!\begin{smallmatrix}9\\16\\7{,}5\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda
\left(\!\begin{smallmatrix}6\\7\\-6\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item c)

M<g> an M<h> gespiegelt ergibt M<u>, und M<h> an M<g> gespiegelt ergibt M<v>.

Bestimme Gleichungen von M<u> und M<v>.

M<u{:}\, \vec X = \vec X_g + 2 \overrightarrow{X_g(\lambda) X_h(-\lambda)} =
\left(\!\begin{smallmatrix}12\\25\\21\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda
\left(\!\begin{smallmatrix}6\\7\\-6\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<v{:}\, \vec X = \vec X_h - 2 \overrightarrow{X_g(\lambda) X_h(-\lambda)} =
\left(\!\begin{smallmatrix}6\\7\\-6\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}-6\\-7\\6\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item d)

Wo liegen die Mittelpunkte der Kugeln, die M<g> und M<h> berühren?

M<k{:}\, \vec X = \vec X_m + \sigma \left(\overrightarrow{X_g(\lambda)
X_h(-\lambda)} \times \vec g\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}9\\16\\7{,}5\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda  
\left(\!\begin{smallmatrix}6\\7\\-6\end{smallmatrix}\!\right) + \sigma
\left(\!\begin{smallmatrix}-36 - 63\\54 + 12\\14 - 36\end{smallmatrix}\!\right)
= \left(\!\begin{smallmatrix}9\\16\\7{,}5\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda
\left(\!\begin{smallmatrix}6\\7\\-6\end{smallmatrix}\!\right) + \sigma
\left(\!\begin{smallmatrix}-99\\66\\-22\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item e)

Wo liegen die Mittelpunkte der kleinstmöglichen Kugeln, die M<g> und M<h>
berühren?

Auf M<m>.

=back

=head3 Geometrie-Buch Seite 230, Aufgabe 14

M<g_a{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}7\\1\\a\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad a \in
\mathds{Z};>

M<M(-5,5,5); \quad V(6,18,6); \quad W(-6,12,0);>

=over

=item a)

Beschreibe die Schar M<g_a>, welchen Abstand haben benachbarte Schargeraden?

Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Mittelparallele von M<g_7>
und M<g_{-7}>?

Die Schar besteht aus unendlich vielen parallelen Geraden.

M<\left|\vec X_{g_{a}} - \vec X_{g_{a + 1}}\right| =
\left|\left(\!\begin{smallmatrix}0\\0\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\right| =
1;>

Mittelparallele von M<g_7> und M<g_{-7}> ist M<g_0{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}7\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\0\end{smallmatrix}\!\right)>, eine Gerade in
der M<x_1>--M<x_2>-Ebene.

=item b)

Welche Schargeraden haben vom Ursprung den Abstand M<7>?

M<\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\overrightarrow{0 X}\right|^2 =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left[50 + a^2 + 10 \mu + 5 \mu^2\right] =
{}10 + 10 \mu \stackrel{!}{=} 0;>

⇔ M<\mu = -1;>

M<\left|\overrightarrow{0 X(-1)}\right| = \sqrt{45 + a^2} \stackrel{!}{=} 7;> ⇔
M<a = \pm 2;>

=item c)

Welche Schargeraden berühren die Kugeln um M<M> mit Radius M<9>?

M<\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\overrightarrow{M X}\right|^2 =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\left(\!\begin{smallmatrix}12\\-4\\a-5\end{smallmatrix}\!\right) + \mu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\0\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left[185 + a^2 -10a + 40 \mu + 5 \mu^2\right] =
{}40 + 10 \mu \stackrel{!}{=} 0;>

⇔ M<\mu = -4;>

M<\left|\overrightarrow{M X(-4)}\right| = \sqrt{185 + a^2 - 10a - 80}
\stackrel{!}{=} 9;> ⇔ M<a^2 - 10a + 96 = 0;>

M<D = 100 - 4 \cdot 1 \cdot 96 E<lt> 0;> ⇔ keine Schargerade berührt die Kugel
um M<M> mit Radius M<9>.

=item d)

Bezüglich welcher Schargerade sind M<V> und M<W> symmetrisch?

M<\vec V + \frac{1}{2} \overrightarrow{VW} =
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\15\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\vec X - \left(\!\begin{smallmatrix}0\\15\\3\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left[154 + a^2 - 6a + 70 \mu + 5 \mu^2\right] =
{}70 + 10 \mu \stackrel{!}{=} 0;>

⇔ M<\mu = -7;>

M<\left|\vec X(-7) -
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\15\\3\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 =
\left|\left(\!\begin{smallmatrix}0\\0\\a-3\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 =
a^2 - 6a + 9 \stackrel{!}{=} 0;>

⇔ M<a = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2} = 3;>

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