=for timestamp
Fr Nov 10 16:43:31 CET 2006

=head2 109. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 248, Aufgabe 1

Berechne das Volumen M<V> des von M<\vec u>, M<\vec v> und M<\vec w>
aufgespannten Spats:

=over

=item a)

M<\vec u = \left(\!\begin{smallmatrix}-4\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
\vec v = \left(\!\begin{smallmatrix}-2\\-5\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
\vec w = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<V = \left|\vec u \cdot \left(\vec v \times \vec w\right)\right| =
\left|\left(-4\right) \left[\left(-5\right) \cdot 3\right] + 2
\cdot \left[\left(-2\right) \cdot 2 + 2 \cdot 5\right]\right| = 72;>

=item b)

M<\vec u = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
\vec v = \left(\!\begin{smallmatrix}4\\5\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
\vec w = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<V = \left|\vec u \cdot \left(\vec v \times \vec w\right)\right| =
\left|\left[5 \cdot 1 - 2 \cdot 4\right] + 2 \left[3 \cdot 4 - 4 \cdot 1\right]
+ 3 \left[4 \cdot 2 - 5 \cdot 3\right]\right| = 8;>

=back

=head3 Geometrie-Buch Seite 249, Aufgabe 4

M<A(1,1,5); \quad B(5,1,5); \quad C(2,5,5); \quad D(0,3,5); \quad \text{Spitze
}S(4,1,-1);>

Berechne das Volumen der Pyramide M<ABCDS>

=over

=item a)

durch Zerlegen in zwei dreiseitige Pyramiden.

[XXX Mit "dreiseitige Pyramide" ist eine Pyramide mit einem Dreieck als
Grundfläche gemeint.]

=item b)

mit der Formel M<V = \frac{1}{3} G h>.

M<V = \frac{1}{3} G h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \left|\overrightarrow{AB} \times
\overrightarrow{AC}\right| \cdot \frac{1}{2} \left|\overrightarrow{AD} \times
\overrightarrow{AC}\right| \cdot \left[5 - \left(-1\right)\right] = 48;>

[XXX M<22> ist korrekt.]

=back