=for timestamp
Mi Nov 15 16:05:52 CET 2006

=head2 111. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 255, Aufgabe 1

Entscheide, ob das Integral konvergiert und berechne gegebenenfalls seinen
Wert.

=over

=item a)

M<\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \,\mathrm{d}x = \lim\limits_{\alpha \to
0+} \left[\frac{3}{2} \sqrt[3]{x^2}\right]_{\alpha}^1 = \frac{3}{2};>

=item b)

M<\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \,\mathrm{d}x =
{}\lim\limits_{\alpha \to 0+} \left[3 \sqrt[3]{x}\right]_{\alpha}^1 = 3;>

=item c)

M<\int\limits_{-1}^0 \frac{1}{\sqrt[3]{x^4}} \,\mathrm{d}x =
{}\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x^4}} \,\mathrm{d}x =
{}\lim\limits_{\alpha \to 0+} \left[-\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right]_{\alpha}^1 =
{}\infty;>

=item d)

M<\int\limits_{-1}^1 \frac{x}{\sqrt[3]{x^4}} \,\mathrm{d}x = 0;>

=item e)

M<\int\limits_{-16}^{16} \frac{1}{\sqrt{\left|x\right|}} \,\mathrm{d}x =
{}2 \cdot \int\limits_0^{16} \frac{1}{\sqrt{\left|x\right|}} \,\mathrm{d}x =
{}2 \cdot \lim\limits_{\alpha \to 0+} \left[2 \sqrt{x}\right]_{\alpha}^{16} =
{}2 \cdot 8 = 16;>

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