=for timestamp
Fr Nov 17 16:11:08 CET 2006

=head2 112. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 255, Aufgabe 1

Entscheide, ob das Integral konvergiert und berechne gegebenenfalls seinen
Wert.

=over

=item g)

M<\int\limits_0^{\pi/2} \underbrace{\frac{1}{\sin^2 x}}_{\frac{1}{\frac{1}{2}
\left(1 - \cos 2x\right)}} \,\mathrm{d}x = \lim\limits_{\alpha
\to 0+} \left[-\frac{1}{\tan x}\right]_{\alpha}^{\pi/2} = \infty;>

=item h)

M<\int\limits_0^{\pi}       \frac{1}{\cos^2 x} \,\mathrm{d}x =
{}\int\limits_0^{\pi/2}     \frac{1}{\cos^2 x} \,\mathrm{d}x +
{}\int\limits_{\pi/2}^{\pi} \frac{1}{\cos^2 x} \,\mathrm{d}x =
{}\lim\limits_{\alpha \to \frac{\pi}{2}-} \tan\alpha +
{}\lim\limits_{\beta  \to \frac{\pi}{2}+} -\tan\beta =
{}\infty;>

=back

=head3 Analysis-Buch Seite 256, Aufgabe 8

Für welche Werte M<a> konvergiert das Integral:

=over

=item a)

M<\int\limits_1^{\infty} x^a \,\mathrm{d}x>

Analyse der Definiertheit des Integranden: Für alle M<a \in \mathds{R}>
definiert, da M<x E<gt> 0>.

Analyse für M<a = -1>: M<\int\limits_1^{\infty} \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x =
\infty;>

Analyse für M<a \neq -1>:
M<\int\limits_1^{\infty} x^a \,\mathrm{d}x =
{}\lim\limits_{\alpha \to \infty} \left[\frac{\alpha^{a+1}}{a+1}\right]_1^{\alpha} =
{}\begin{cases}
{} \infty & \text{für } a E<gt> -1; \\
{} -\frac{1}{a + 1} & \text{für } a E<lt> -1;
{}\end{cases}>

=item b)

M<\int\limits_0^{\infty} x^a \,\mathrm{d}x>

Integrand bei M<x = 0> für M<a = 0> nicht definiert. In diesem Fall divergiert
das Integral bestimmt.

M<\int x^a \,\mathrm{d}x = \begin{cases}
{} \ln x + C & \text{für } a = -1; \\
{} \frac{x^{a+1}}{a+1} + C & \text{sonst};
\end{cases}>

=for latex
{\small

M<\displaystyle\int\limits_0^{\infty} x^a \,\mathrm{d}x =
{}\begin{cases}
{} \lim\limits_{\alpha \to \infty} \left[\alpha^a - 0\right] = \infty &
{}   \text{für } a E<gt> -1; \\
{} \int\limits_0^1 \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x + \int\limits_1^{\infty}
\frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \lim\limits_{\alpha \to 0+} -\ln \alpha +
\lim\limits_{\beta \to \infty} \ln \beta = \infty &
{}   \text{für } a = -1; \\
{} \int\limits_0^1 \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x + \int\limits_1^{\infty}
\frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \lim\limits_{\alpha \to 0+}
-\frac{\alpha^{a+1}}{a+1} + \lim\limits_{\beta \to \infty} \frac{\beta^{a
1}}{a+1} = \infty &
{}   \text{für } a E<lt> -1;
{}\end{cases}>

=for latex
}

=back