=for timestamp
Mo Dez  4 16:21:36 CET 2006

=head2 119. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 258, Aufgabe 32

M<f(x) = \ln\!\left(x^2 + 4\right);>

=over

=item a)

Diskutiere M<f> und zeichne M<G_f>.

M<f(x) \stackrel{!}{=} 0;> → keine Nullstellen

M<f(-x) = f(x);> → Symmetrie zur M<y>-Achse

M<\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty;>

M<f'(x) = \frac{2 x}{x^2 + 4} \stackrel{!}{=} 0;> → TIP bei M<(0,\ln
4);>

M<f''(x) = \frac{-2x^2 + 8}{\left(x^2 + 4\right)^2} = -2 \cdot \frac{\left(x -
2\right) \left(x + 2\right)}{\left(x^2 + 4\right)^2} \stackrel{!}{=} 0;> → WEP
bei M<(\pm 2, \ln 8);>

=item b)

Berechne den Inhalt der Fläche M<A> zwischen M<G_f> und der Verbindungsgeraden
seiner Wendepunkte. Wie verhält sich M<A> zur Fläche jenes Rechtecks, das der
Fläche M<A> umschrieben ist?

Wie verhält sich M<A> zur Fläche des umbeschriebenen gleichschenkligen
Dreiecks, dessen Schenkel auf den Wendetangenten liegen?

M<\int \ln\!\left(x^2 + 4\right) \cdot x' \,\mathrm{d}x =
{}x \ln\!\left(x^2 + 4\right) - \int \underbrace{\frac{1}{x^2 + 4} \cdot 2x \cdot x}_{\frac{2x^2}{x^2 + 4}} \,\mathrm{d}x = \\
{}\quad =
{}x \ln\!\left(x^2 + 4\right) - \int 2 \,\mathrm{d}x + \int \underbrace{\frac{8}{x^2 + 4}}_{\frac{2}{1 + \left(x/2\right)^2}} \,\mathrm{d}x = \\
{}\quad =
{}x \ln\!\left(x^2 + 4\right) - 2x + 4 \int \frac{1/2}{1 + \left(x/2\right)^2} \,\mathrm{d}x = \\
{}\quad =
{}x \ln\!\left(x^2 + 4\right) - 2x + 4 \arctan \frac{x}{2};>

M<\int \ln 8 - \ln\!\left(x^2 + 4\right) \,\mathrm{d}x = 8 - 2 \pi;>

Rechteckinhalt: M<\left[2 - \left(-2\right)\right] \cdot \left(\ln 8 - \ln 4\right) = \ln 16;>

Wendetangentenschnittpunkt: M<f'(\pm 2) = \pm \frac{1}{2};> →
Schnittpunkt bei M<\left(0,\ln 8 - 2 \cdot \frac{1}{2}\right) = (0,\ln 8 - 1);>

Dreiecksinhalt: M<\frac{1}{2} \cdot \left[2 - \left(-2\right)\right] \cdot
\left[\ln 8 - \left(\ln 8 - 1\right)\right] = 2;>

=item c)

M<g> sei eine umkehrbare Einschränkung von M<f> mit möglichst großer
Definitionsmenge. M<G_g> enthalte den Punkt M<(-1, ?)>.

Bestimme M<g^{-1}> und stelle M<A> durch ein Integral mit dem Integranden
M<g^{-1}(x)> dar. Substituiere darin M<x = \ln t^2>.

M<g(x) = \ln\!\left(x^2 + 4\right); \quad D_g = \mathds{R}_0^-; \quad W_g =
\left[\ln 4, \infty\right[;>

M<g(x) = y = \ln\!\left(x^2 + 4\right);> ⇔ M<x = -\sqrt{e^y - 4} = g^{-1}(y);>

Inhalt von M<A>, dargestellt über M<g^{-1}(x)>:
M<-2 \int\limits_{f(0)}^{f(2)} g^{-1}(x) \,\mathrm{d}x =
{}2 \int\limits_{f(0)}^{f(2)} \sqrt{e^x - 4} \,\mathrm{d}x =
{}2 \int\limits_{t(f(0))}^{t(f(2))} \sqrt{e^{\ln t^2} - 4} \cdot \left(\ln t^2\right)' \,\mathrm{d}t =
{}2 \int\limits_{t(f(0))}^{t(f(2))} \sqrt{t^2 - 4} \cdot \frac{1}{t^2} \cdot 2t \,\mathrm{d}t =
{}4 \int\limits_{t(f(0))}^{t(f(2))} \frac{\sqrt{t^2 - 4}}{t} \,\mathrm{d}t> mit M<t(x) = \sqrt{e^x};>

=back

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Mon, 04 Dec 2006 18:14:29 CET.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -5.000000 : 5.000000 ]
set yrange [ -8.000000 : 8.000000 ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 2.000000

# Function definitions
func0(x) = log(x**2.+4.)
func1(x) = x*log(x**2.+4.)-2.*x+4.*asin(x/2.)
func2(x) = -sqrt(exp(x) - 4.)

# Plotting
plot func0(x) t "f" w l lt 1, func1(x) t "F" w l lt 2, func2(x) t "g^(-1)" w l lt 3

=hend