=for timestamp
Mo Dez  4 17:11:07 CET 2006

=head2 120. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 258, Aufgabe 33

M<f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x - x^2}};>

=over

=item a)

Bestimme die maximale Definitionsmenge.

M<f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{2 - x}};> → M<D_f = \left]0, 2\right[;>

=item b)

Verschiebe M<G_f> so, dass der verschobene Graph M<G_g> symmetrisch zur
M<y>-Achse ist. Bestimme M<g(x)>.

M<g(x) = f(x + 1) = \frac{1}{\sqrt{x + 1} \sqrt{2 - x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{1
+ x} \sqrt{1 - x}};>

Kontrolle: M<g(-x) = g(x);>

=item c)

Bestimme die Wertemenge von M<g> und damit von M<f> und schließe daraus auf Ort
und Art des Extrempunkts von M<G_f>.

M<g(x) = y = \frac{1}{\sqrt{1 + x} \sqrt{1 - x}};> →

M<\left|x\right| = \sqrt{\frac{y^2 - 1}{y}} = \sqrt{1 - \frac{1}{y^2}};> →

M<1 - \frac{1}{y^2} \geq 0;> ⇔ M<\left|y\right| \geq 1;> →

M<D_{g^{-1}} = W_g = W_f = \left[1, \infty\right[;>

→ TIP bei M<(0, 1);>

=item d)

Begründe: Eine Stammfunktion M<F> von M<f> hat kein Extremum.

M<f(x) E<gt> 0> für alle M<x \in D_f> → M<F' = f> wechselt nie das Vorzeichen.

=item e)

Gib die Monotoniebereiche von M<f> an. Was folgt daraus für den Verlauf von
M<G_F> einer beliebigen Stammfunktion M<F> von M<f>?

Was tut sich in M<G_f> bei der Abszisse des Extrempunkts von M<G_f>?

M<f'(x) = -\frac{1}{2x - x^2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2x - x^2}} \cdot
\left(2 - 2x\right) = \frac{x - 1}{\sqrt{\left(2x - x^2\right)^3}} =
\frac{x - 1}{\sqrt{\left[-x \left(x - 2\right)\right]^3}};>

VZW von M<f'(x)> bei M<x = 1> von M<-> nach M<+> → Bestätigung der Vermutung
über die Extrempunktsart

Für eine Stammfunktion M<F> von M<f> folgt daraus, dass M<F> an M<x = 1> einen
Wendepunkt hat.

=item f)

Zeichne M<G_f> und M<G_F> so, dass M<G_F> den Punkt M<(1,0)> enthält.

M<F(a) = \int\limits_1^a \frac{1}{\sqrt{2x - x^2}} \,\mathrm{d}x = \left[\int
\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \left(1 + t\right)' \,\mathrm{d}t\right]_1^a =
\left[\arcsin t\right]_1^a = \left[\arcsin\!\left(x - 1\right)\right]_1^a =
\arcsin\!\left(a - 1\right);>

=item g)

Berechne den Term M<F(x)> der Funktion aus Aufgabe f).

=item h)

M<H(x) := \int\limits_0^x \frac{1}{\sqrt{2t - t^2}} \,\mathrm{d}t; \quad D_H =
D_{\text{max}}>. Wie hängen M<F> und M<H> zusammen?

M<H' = F' = f;>

M<H(x) = F(x) + \int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{2t - t^2}} \,\mathrm{d}t =
{}F(x) + \frac{\pi}{2};>

=back

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Mon, 04 Dec 2006 18:18:01 CET.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -1.400000 : 2.400000 ]
set yrange [ -2.500000 : 10.000000 ]
set grid
set xtics 0.500000
set ytics 2.000000

# Function definitions
func0(x) = 1./sqrt(2.*x-x**2.)
func1(x) = 1./(sqrt(1.+x)*sqrt(1.-x))
func2(x) = asin(x-1.)
func3(x) = asin(x-1.) + pi/2.

# Plotting
plot func0(x) t "f" w l lt 1, func1(x) t "g" w l lt 2, func2(x) t "F" w l lt 3, func3(x) t "H" w l lt 4

=hend